Парные ставки в рамках одной игры: математика корреляции

Традиционная ставка на пари (независимые события)

Для традиционных экспресс-ставок с независимыми событиями математика проста. Если у вас n ставок с индивидуальными вероятностями p₁ , p₂ , ..., pₙ , то вероятность выигрыша всех ставок — это просто произведение индивидуальных вероятностей:

Эта формула основана на фундаментальном правиле вероятности для независимых событий. Два события A и B независимы, если знание о том, что произошло событие A, не дает информации о том, произошло ли событие B (формально: P(A ∩ B) = P(A) × P(B)).

Пример: Традиционная комбинация из 3 ставок

Предположим, вы делаете ставки в комбинированном порядке из трех разных игр (обеспечивая независимость):

• Разница в очках в пользу команды А -110 (вероятность ≈ 52,4%)
• Разница в очках между командами B и B составляет -110 (вероятность ≈ 52,4%).
• Разница в очках в пользу команды C -110 (вероятность ≈ 52,4%)

Примечание о подразумеваемой вероятности: Мы переводим американские коэффициенты в вероятность, используя формулу из статьи 1. Для коэффициента -110:

Совокупная вероятность (при условии независимости):

Расчет справедливых шансов: Если истинная вероятность составляет 14,4%, справедливые шансы выплаты рассчитываются следующим образом:

Фактический выигрыш: Большинство букмекерских контор выплачивают примерно 6 к 1 (+600) за экспресс из 3 событий при стандартном коэффициенте -110.

Преимущество букмекерской конторы заключается в том, что она предлагает коэффициенты немного ниже справедливых. В данном случае:

Небольшое преимущество казино типично для традиционных экспресс-ставок. Однако этот расчет критически важен, поскольку предполагает независимость — что каждый исход не влияет на другие.В случае экспресс-ставок на одну и ту же игру это предположение полностью не выполняется.

Проблема корреляции в экспресс-ставках на одну игру

Когда все ставки сделаны в одной и той же игре, нарушается независимость. Рассмотрим распространенную конструкцию SGP:

• Победа команды А (-140, предполагаемая вероятность ≈ 58,3%)
• Вероятность того, что квотербек команды А наберет более 275,5 ярдов пасом (-110, предполагаемая вероятность ≈ 52,4%)
• Тотал очков в игре превысит 48,5 (-110, предполагаемая вероятность ≈ 52,4%).

Эти результаты положительно коррелируют :

• Если команда А победит, значит, их квотербек, скорее всего, показал хорошую игру → положительная корреляция между первым и вторым этапами.
• Если квотербек набирал более 275 ярдов пасом, то в игре, вероятно, было больше очков → положительная корреляция между 2-м и 3-м этапами.
• Если команда А победит, особенно с комфортным отрывом, общий результат, скорее всего, превзойдёт ожидания → положительная корреляция между этапами 1 и 3

Использование формулы независимости значительно занизило бы истинную вероятность одновременного столкновения всех трех факторов.

Математическая основа

Пусть X₁, X₂, X₃ — бинарные случайные величины (1 = выигрыш, 0 = проигрыш), представляющие каждый этап экспресс-ставки. Нам нужно рассчитать:

В период независимости:

С учетом корреляции:

Истинная вероятность зависит от совместного распределения вероятностей (X₁, X₂, X₃), которое отражает, как исходы движутся вместе. Мы не можем просто умножать предельные вероятности; мы должны учитывать структуру зависимостей.

Для правильного расчета коэффициентов в этой экспресс-ставке букмекерские конторы должны напрямую оценить P(X₁=1, X₂=1, X₃=1), учитывая корреляцию. В оставшейся части статьи рассматриваются используемые ими методы.

Корреляционные матрицы: измерение зависимости

Букмекерские конторы оценивают корреляцию, используя исторические данные. Для каждой пары типов ставок (победа команды с общим количеством очков команды, количество ярдов, набранных квотербеком, с общим количеством очков за игру и т. д.) они рассчитывают эмпирические коэффициенты корреляции на основе тысяч прошлых игр.

Коэффициент корреляции Пирсона

Для двух бинарных исходов X и Y (обозначаемых как 1 для победы, 0 для поражения) коэффициент корреляции Пирсона равен:

Числитель показывает, насколько совместная вероятность отличается от того, что предсказывала бы независимость. Знаменатель нормализует эту разницу, чтобы получить значение от -1 до +1.

Интерпретация:

• ρ = +1: Идеальная положительная корреляция (оба явления всегда происходят одновременно)
• ρ = 0: Отсутствие корреляции (независимые события)
• ρ = -1: Идеальная отрицательная корреляция (когда возникает одна, другая никогда не возникает)
• Типичный диапазон ставок на спорт: ρ от -0,4 до +0,6

Пример матрицы корреляций

Ниже представлена гипотетическая корреляционная матрица, полученная на основе исторических данных по играм НФЛ. Эти значения являются иллюстративными, но отражают корреляции, которые могли бы наблюдать букмекерские конторы:

Эта матрица показывает умеренные положительные корреляции. Самая сильная корреляция (0,42) наблюдается между количеством пасов квотербека на 275+ ярдов и превышением общего количества ярдов за игру — это логично, поскольку большое количество пасовых ярдов обычно указывает на результативную игру.

Победа команды положительно коррелирует как с результативностью её квотербека (0,35), так и с тем, что игра закончилась с превышением лимита очков (0,28), хотя эти корреляции слабее. Такая структура типична: корреляции существуют, но редко бывают экстремальными в каком-либо направлении.

Важное замечание: матрицы корреляции значительно различаются в зависимости от контекста игры (фаворит против аутсайдера, дома против гостей, игры с высоким или низким тоталом и т. д.). Современные букмекерские конторы используют отдельные матрицы для разных игровых ситуаций.

Метод гауссовой копулы для ценообразования SGP

Один из сложных подходов, используемых букмекерскими конторами, — это гауссова копула , которая моделирует совместные вероятности, сохраняя при этом предельные вероятности каждой отдельной ставки. Этот метод отделяет предельное поведение (как часто каждая ставка выигрывает в отдельности) от структуры зависимости (как меняются ставки вместе).

Методология

1. Преобразование в нормальные переменные: Преобразуйте каждый бинарный результат в скрытую непрерывную нормальную переменную, используя обратную нормальную кумулятивную функцию распределения (КФР):
   Z₁ = Φ⁻¹(p₁), Z₂ = Φ⁻¹(p₂), Z₃ = Φ⁻¹(p₃)

   где Φ⁻¹ — обратная функция распределения стандартного нормального распределения, а p₁, p₂, p₃ — предельные вероятности.

2. Примените корреляционную структуру: смоделируйте (Z₁, Z₂, Z₃) как многомерное нормальное распределение с корреляционной матрицей R :
   (Z₁, Z₂, Z₃) ~ MVN(0, R)

   где R содержит попарные коэффициенты корреляции из корреляционной матрицы.

3. Рассчитайте совместную вероятность: Вероятность того, что все три ставки выиграют, составляет:
   P(все выигрывают) = P(Z₁ > c₁, Z₂ > c₂, Z₃ > c₃)

   где c₁, c₂, c₃ — критические значения, соответствующие проигрышу каждой ставки (т.е., cᵢ = Φ⁻¹(1 - pᵢ)).

Этот интеграл по многомерному нормальному распределению обычно вычисляется с использованием метода Монте-Карло или методов численного интегрирования.

Пример решения

Используя ранее предложенную комбинацию из трех ставок с корреляционной матрицей, показанной выше:

• P(Победа команды А) = 0,583
• P(QB набрал более 275 ярдов) = 0,524
• P(Всего более 48,5) = 0,524

В период независимости:

С использованием корреляции (с применением гауссовой копулы и приведенной выше матрицы):

Корреляция увеличивает совместную вероятность примерно на 33% по сравнению с предположением о независимости. Это ключевой вывод: положительная корреляция делает вероятность выигрыша в экспрессе выше, чем предполагает независимость, а это значит, что букмекерская контора должна предлагать более низкие коэффициенты (меньший выигрыш), чем при традиционном экспрессе.

Если бы букмекерская контора выплачивала традиционные коэффициенты на экспресс из трех событий (около +600) при реальной вероятности 21,2%, она бы предлагала:

Это было бы катастрофой для букмекерской конторы. (Обзор расчетов ожидаемой стоимости см. в статье 2. ) Вместо этого они могли бы предложить +350, что дает:

Теперь преимущество казино составляет 4,6%, что сопоставимо с разовой ставкой.

Эмпирический частотный метод

Более простой и прямой подход заключается в подсчете частоты совпадений определенных комбинаций ставок в исторических данных. Этот метод не требует никаких предположений о форме корреляции (в отличие от гауссовой копулы) и просто использует наблюдаемые частоты.

Процесс

1. Определите сопоставимые исторические игры: найдите все прошлые игры, соответствующие текущей ситуации (схожие разбросы очков, схожие тоталы, схожий уровень команд).
2. Зафиксируйте результаты: для каждой исторической игры запишите, выиграл бы каждый из этапов пари.
3. Рассчитайте частоту соприкосновения суставов: подсчитайте, как часто все ноги соприкасаются друг с другом.
4. Коррекция с учетом размера выборки: Примените статистические корректировки (например, доверительные интервалы) для учета ограниченности данных.
5. Увеличьте преимущество казино: преобразуйте частоту в коэффициенты с учетом желаемой нормы прибыли.

Пример расчета

На основе 500 исторических игр НФЛ, в которых команда считалась фаворитом с преимуществом в 3-7 очков, а общий тотал игры составлял от 45 до 51 очка:

Сравнение с независимостью:

Этот эмпирический подход подтверждает предсказание гауссовой копулы: корреляция существенно увеличивает совместную вероятность. Букмекерская контора использует этот показатель в 20,4% (возможно, с поправками на специфику текущей игры) для установления коэффициентов.

Преимущества эмпирического метода:

• Никаких предположений о распределении не требуется.
• Точно фиксирует реальные взаимосвязи в том виде, в котором они возникают.
• Легко реализовать при наличии достаточного объема исторических данных.

Недостатки:

• Для каждой конкретной комбинации требуются большие наборы данных.
• Плохо применима к новым комбинациям.
• Может быть шумным при редких типах ставок или необычных игровых ситуациях.

Большинство современных букмекерских контор используют гибридный подход : эмпирические частоты там, где данных много, гауссовские копулы или другие модели для заполнения пробелов и сглаживания оценок.

Как букмекерские конторы рассчитывают коэффициенты SGP: полный процесс

Вот полный алгоритм действий, используемый букмекерской конторой для определения коэффициентов на экспресс-ставку из одной игры:

Шаг 1: Оценка предельных вероятностей

Для каждого отдельного события определите истинную вероятность (до вычета комиссии за вигори). Букмекерские конторы получают эти данные на основе своих прогностических моделей и алгоритмов формирования рынка:

• Победа команды А: 56% истинная вероятность → коэффициент -130 (с учетом комиссии подразумевается 56,5%)
• Пробег квотербека более 275 ярдов: истинная вероятность 48% → коэффициент -110 (с учетом комиссии подразумевается 52,4%)
• Сумма свыше 48,5: истинная вероятность 52% → предлагается по цене -110 (с учетом комиссии подразумевается 52,4%)

Шаг 2: Примените корректировку корреляции.

Используя либо копульный метод, либо эмпирические частоты (или и то, и другое), вычислите истинную совместную вероятность. В этом примере предположим, что их анализ дает следующие результаты:

Сравните с предположением о независимости:

В данном случае корреляция увеличивает совместную вероятность на 35%.

Шаг 3: Добавьте Вигориш

Преобразуйте реальную вероятность в предлагаемые коэффициенты с учетом желаемого преимущества казино:

Преимущество казино в 14,9% значительно выше, чем типичное преимущество в 4-5% по одиночной ставке. Это одна из причин, почему букмекерские конторы стремятся продвигать SGP.

Шаг 4: Округлите до стандартных выплат по экспресс-ставкам.

Многие букмекерские конторы округляют значения экспресс-ставок до стандартных значений (+300, +350, +400, +450, +500 и т. д.) для упрощения работы и улучшения пользовательского опыта. Это округление может незначительно увеличить или уменьшить эффективное преимущество букмекера в зависимости от того, в какую сторону оно направлено.

В данном случае +350 уже является стандартным шагом округления, поэтому дополнительное округление не требуется.

Шаг 5: Динамические настройки

Современные книги также вносят корректировки в режиме реального времени на основе следующих факторов:

• Дисбаланс ставок: если слишком много игроков делают ставки на определенную комбинацию, коэффициенты могут еще больше снизиться.
• Индикаторы для опытных игроков: если известные опытные игроки избегают определенных ставок, букмекерская контора может предложить немного лучшие коэффициенты, чтобы привлечь больше ставок.
• Неопределенность корреляции: для необычных комбинаций, где корреляцию трудно оценить, в книгах часто добавляют дополнительный запас прочности.

Практические последствия для игроков, делающих ставки.

Понимание математической основы SGP приводит к ряду практических выводов:

1. Партии социального страхования, как правило, невыгодны.

Преимущество казино при ставках на экспрессы обычно в 3-5 раз выше, чем при одиночных ставках. Если у вас нет веских оснований полагать, что коэффициент на конкретную ставку занижен, лучше делать отдельные ставки или вообще избегать экспрессов.

2. Избегайте сильно коррелированных комбинаций.

Наиболее выгодные комбинации (победа команды + тотал квотербека + конец игры) — это именно те, по которым у букмекерских контор больше всего данных и лучшие модели ценообразования. Вряд ли вы найдете здесь выгоду.

3. Рассмотрим отрицательную корреляцию.

Если вам необходимо делать ставки в SGP, ищите комбинации с отрицательной корреляцией, где букмекерская контора может предлагать непропорционально высокие выплаты. Это может показаться нелогичным, но с математической точки зрения это может быть выгоднее.

4. Требования к размеру выборки

Для построения собственных оценок корреляции вам понадобятся сотни или тысячи соответствующих исторических игр. Для большинства игроков это непрактично. Следует понимать, что букмекерские конторы обладают гораздо более совершенными данными и возможностями моделирования.

5. Альтернативная стратегия: одиночные ставки

Если вы считаете, что команда А выиграет, и их квотербек наберет больше ярдов, и игра закончится с превышением общего количества очков, у вас есть три ставки с положительным ожидаемым значением (по вашему мнению). Зачем объединять их в одну ставку с преимуществом казино в 15-25%, когда можно сделать три отдельные ставки с преимуществом в 4-5% каждая? (Оптимальный размер нескольких ставок обсуждается в статье 3. )

Ставка SGP обходится вам примерно в 7 раз дороже с точки зрения ожидаемой выгоды, чем три отдельные ставки, хотя риск по обеим стратегиям составляет одинаковые 10 долларов за комбинацию. Это предполагает, что ваши оценки вероятности верны, что возвращает нас ко второй статье о расчетах ожидаемой выгоды.