Управление дисперсией и банкроллом для ставок на индивидуальные показатели игроков.

Понимание дисперсии в ставках на дополнительные исходы

Даже при положительном ожидаемом значении краткосрочные результаты колеблются из-за дисперсии. 60% выигрышных ставок (отличный показатель в спортивных ставках) все равно означает, что вы проигрываете 4 из каждых 10 ставок. Математическое понимание дисперсии помогает установить реалистичные ожидания.

Стандартное отклонение для бинарных исходов

Ставки на исходы матчей обычно имеют бинарный исход: вы выигрываете или проигрываете. Для одиночной ставки с вероятностью выигрыша p стандартное отклонение исходов составляет:

Этот показатель измеряет неопределенность исхода отдельной ставки. Для ставки с вероятностью 60%:

Стандартное отклонение составляет 0,49, что на самом деле довольно много по сравнению с ожидаемым значением 0,20 (если делать ставки, скажем, с коэффициентом +100 и вероятностью выигрыша 60%).

Стандартное отклонение по нескольким ставкам

Если вы сделаете n независимых ставок с одинаковыми характеристиками, стандартное отклонение общего числа исходов составит:

Ключевой вывод: стандартное отклонение растет пропорционально квадратному корню из количества ставок. Если вы сделаете 100 ставок вместо 1, ваше стандартное отклонение увеличится в √100 = 10 раз, но ваше ожидаемое значение увеличится в 100 раз. Именно поэтому игроки, стремящиеся к преимуществу, хотят делать как можно больше ставок с положительным ожидаемым значением (+EV) — ожидаемое значение растет быстрее, чем неопределенность.

Коэффициент вариации

Полезным показателем является коэффициент вариации (CV), который измеряет относительную неопределенность:

Где μ — ожидаемое значение.Ставки более n:

Коэффициент вариации уменьшается как √n, то есть относительная неопределенность снижается по мере увеличения количества ставок. Это математическое обоснование закона больших чисел: при достаточном количестве повторений фактические результаты сходятся к ожидаемому значению.

Критерий Келли: оптимальный размер ставки

Критерий Келли, разработанный Джоном Келли в 1956 году, представляет собой математическую формулу для определения оптимального размера ставок, которая максимизирует долгосрочный рост банкролла, контролируя при этом риск разорения.

Формула

Для ставки с вероятностью выигрыша p и коэффициентом b (прибыль на каждый поставленный доллар в случае выигрыша) оптимальная доля вашего банкролла для ставок составляет:

Где:

• f* = оптимальная доля банкролла для ставок
• b = десятичные коэффициенты - 1 (прибыль на доллар в случае выигрыша)
• p = истинная вероятность выигрыша
• q = 1 - p (вероятность проигрыша)

Вывод (упрощенный)

Келли получил это, максимизируя ожидаемый логарифм богатства. Если вы ставите долю f от банкролла B:

• Если вы выиграете (вероятность p): Новый банкролл = B(1 + fb)
• Если вы проиграете (вероятность q): Новый банкролл = B(1 - f)

Ожидаемый логарифм богатства:

Для достижения максимальных результатов возьмите производную по функции f и приравняйте её к нулю:

Решая уравнение относительно f, получаем:

Эта формула максимизирует геометрический темп роста вашего банкролла с течением времени.

Метод "дробного Келли": консервативный подход

Полная стратегия ставок Келли максимизирует долгосрочный рост, но может привести к значительной волатильности банкролла. Большинство серьезных игроков используют дробную стратегию Келли , чтобы уменьшить дисперсию за счет более медленного роста.

Обыкновенные дроби

• Полный Келли (1.0x): Максимальный рост, высокая вариативность.
• Половина Келли (0,5x): 75% темпа роста, 50% дисперсии
• Квартал Келли (0,25x): 50% темпа роста, 25% дисперсии

Формула для дробной части уравнения Келли:

Почему стоит использовать метод дробной Келли?

1. Ошибка оценки: Если ваша оценка вероятности неверна, полный метод Келли может оказаться слишком агрессивным. Дробный метод Келли обеспечивает запас прочности.
2. Сниженная волатильность: Half Kelly значительно уменьшает колебания банкролла, сохраняя при этом большую часть прироста капитала.
3. Психологический комфорт: во время полос неудач легче придерживаться меньших размеров ставок.
4. Одновременные ставки на несколько событий: Если вы делаете ставки на несколько исходов одновременно, дробная ставка Келли учитывает риск портфеля.

Пример: Половина Келли против Полной Келли

В нашем предыдущем примере с коэффициентом -110 и вероятностью выигрыша 55%:

Имея на счету 1000 долларов:

• Полный Келли: 55 долларов за ставку
• Ставка "Пол Келли": 27,50 долларов за ставку
• Ставка на Quarter Kelly: 13,75 долларов за ставку.

Большинство профессиональных игроков используют коэффициенты от четверти до половины по шкале Келли именно по этим причинам.

Риск разорения: понимание выживания с точки зрения банкролла

Риск разорения — это вероятность того, что ваш банкролл сократится до нуля (или до некоторого минимального порога), прежде чем восстановится. Даже при положительном математическом ожидании всегда существует некоторый риск разорения, если вы делаете слишком агрессивные ставки.

Упрощенная формула

Для повторяющихся ставок с положительным ожидаемым значением приблизительный риск разорения составляет:

Где:

• EV = ожидаемая стоимость ставки (в долларах)
• N = размер банкролла (в долларах)
• σ² = дисперсия на одну ставку

Формула разорения игрока (дискретная)

Для более точного расчета с фиксированными размерами ставок, если вы начинаете с начального банкролла B и размера ставки b:

Это стандартное приближение для оценки вероятности разорения игрока с положительным ожидаемым значением (p > q). Оно оценивает вероятность потери всего вашего банкролла до того, как проявится ваше преимущество.

Пример решения

Предполагать:

• Банкролл: 1000 долларов
• Размер ставки: 50 долларов (5% от банкролла)
• Вероятность выигрыша: 55%
• Коэффициент: -110 (выигрыш $45,45, проигрыш $50)

Количество проигрышных ставок, при котором можно разориться: 1000 долларов / 50 долларов = 20

Даже при ставке размером с 5% по Келли и положительном математическом ожидании существует примерно 2% вероятность разориться до того, как проявится ваше преимущество.

Как Келли минимизирует риск разорения

Прелесть системы ставок Келли заключается в том, что она автоматически регулирует размер ставки в зависимости от вашего банкролла. По мере роста вашего банкролла размер ставки увеличивается. По мере его уменьшения размер ставки уменьшается. Такая динамическая корректировка означает, что вы никогда не окажетесь в безвыходной ситуации.

При истинной стратегии Келли (постоянная корректировка размера ставки) риск разорения со временем приближается к нулю (хотя в конечном временном промежутке он никогда не достигает абсолютного нуля). Именно поэтому стратегия Келли математически оптимальна: она максимизирует рост, практически исключая риск разорения для игроков, делающих ставки в долгосрочной перспективе.

Влияние портфеля инвестиций: ставки на несколько отдельных факторов

На практике вы будете делать ставки не на один вид ставок за раз, а одновременно на несколько. Это создает эффекты портфеля, влияющие на оптимальный размер ставок.

Независимые реквизиты из разных игр

Если вы делаете ставки на дополнительные исходы из разных игр (разных команд, разных видов спорта), эти ставки приблизительно независимы. Теория портфеля говорит нам, что дисперсия портфеля составляет:

Для n одинаковых ставок:

Это означает, что если вы делаете 4 одновременные ставки размером с Келли на независимые события, ваш банкролл будет подвержен в 2 раза большему стандартному отклонению, чем при одной ставке. Чтобы сохранить тот же уровень риска, вам следует уменьшить каждую ставку до половины размера Келли.

Общее правило для независимых ставок

Если вы планируете одновременно делать n независимых ставок в среднем:

Примеры:

• Ставка за раз → 1.0x Келли
• 4 ставки одновременно → 0,5x Келли (половина Келли)
• 9 ставок за раз → 0,33x Келли (одна треть Келли)
• 16 ставок за раз → 0,25x Келли (четверть Келли)

Взаимосвязанные реквизиты из одной и той же игры

Ставки на дополнительные исходы одной и той же игры коррелируют, как мы обсуждали в статье 4. Если вы делаете ставки на несколько дополнительных исходов одной и той же игры, вы берете на себя дополнительный риск, поскольку они, вероятно, выиграют или проиграют одновременно.

В случае коррелированных ставок уменьшите размер ставки еще больше. Примерное правило:

• Низкая корреляция (ρ < 0,2): рассматривать как независимые переменные.
• Умеренная корреляция (ρ = 0,2-0.5): Уменьшите размер ставки на 25-50%.
• Высокая корреляция (ρ > 0,5): уменьшите размер ставки на 50% и более или избегайте множественных ставок в одной игре.

Точная математика коррелированных ставок Келли сложна и выходит за рамки данной статьи, но принцип ясен: корреляция увеличивает риск, требуя меньших ставок.

Распространенные ошибки в управлении банкроллом

1. Слишком большие ставки после выигрыша

«Я только что выиграл три раза подряд, давайте я увеличу размер ставки!»

Проблема: Это противоречит принципам Келли. Увеличивать размер ставки следует только по мере роста вашего банкролла, а не из-за удачной серии. Три выигрыша могут быть случайностью, а не подтверждением мастерства.

2. Слишком маленькие ставки после проигрышей

«Я проиграл пять раз подряд, мне следует делать небольшие ставки, пока я не восстановлюсь».

Проблема: Если ваше преимущество действительно существует, то именно в периоды неудач вам следует поддерживать правильную стратегию ставок по Келли. Снижение размера ставки ниже уровня Келли из-за серии неудач снижает ожидаемый рост. (Однако снижение до дробного размера Келли для психологического комфорта допустимо.)

3. Использование «боязливых денег»

«Я поставлю по 10 долларов на каждый исход, потому что боюсь за свой банкролл».

Проблема: Если вы боитесь делать ставки приличного размера, значит, ваш банкролл слишком мал или у вас нет реального преимущества. Либо увеличьте банкролл, либо не делайте ставок.

4. Игнорирование влияния портфеля

«Я поставлю 5% на Келли, сделав ставку одновременно на 10 разных вариантов».

Проблема: на самом деле вы берете на себя риск в √10 ≈ 3,16 раза больше, чем думаете. Ваша суммарная позиция эквивалентна ставке 15,8% Келли на одну ставку — слишком агрессивно.

5. Никогда не пересчитывать

«Я начал с 1000 долларов и всегда ставил по 50 долларов на каждый исход».

Проблема: Если ваш банкролл падает до 500 долларов, ставить 50 долларов (10% от текущего банкролла) — безрассудно. Если он вырастет до 2000 долларов, ставить 50 долларов (2,5%) — слишком консервативно. Обновляйте размеры ставок по мере изменения банкролла.

6. Переоценка Edge

«У меня 60% шансов на победу в этом пари, так что я поставлю по-крупному».

Проблема: Как обсуждалось в статье 2, оценки вероятности неопределенны. Уверенность в 60%, когда на самом деле вероятность составляет 53%, приводит к чрезмерным ставкам. Используйте консервативные оценки и дробный коэффициент Келли.