Спросите Волшебника #120

В следующей таблице показана вероятность выпадения от 0 до 4 тузов в совершенно случайной раздаче.

Рассмотрим сумму вероятностей выпадения от 1 до 4 тузов: вероятность выпадения хотя бы одного туза составляет 0,341158. Вероятность выпадения двух или более тузов равна 0,041684.

Вероятность наличия хотя бы одного дополнительного туза при условии наличия хотя бы одного, может быть переформулирована согласно теореме Байеса как вероятность (два дополнительных туза при условии наличия хотя бы одного туза) = вероятность (два или более туза) / вероятность (наличие хотя бы одного туза) = 0,041684 / 0,341158 = 0,122185.

Для тех, кто подзабыл теорему Байеса, она гласит, что вероятность события А при условии события В равна вероятности событий А и В, деленной на вероятность события В, или Pr(A при условии события В) = Pr(A и B)/Pr(B).

В следующей таблице показаны комбинации и вероятность выпадения каждого числа других тузов при условии, что туз пик был удален из колоды.

Это показывает, что вероятность появления хотя бы еще одного туза составляет 0,221369.

Для интереса решим ту же задачу, используя теорему Байеса. Предположим, что случайные руки раздаются до тех пор, пока не окажется одна, содержащая туз пик. Вероятность наличия хотя бы одного дополнительного туза при условии, что рука содержит туз пик, можно переписать как вероятность (по крайней мере два туза при условии, что в руке есть туз пик). Согласно теореме Байеса, это равно Вероятность (рука содержит туз пик и хотя бы один дополнительный туз) / Pr(рука содержит туз пик). Мы можем разложить числитель как Вероятность (2 туза, включая туз пик) + Вероятность (3 туза, включая туз пик) + Вероятность (4 туза). Используя первую таблицу, это равно 0,039930 × (2/4) + 0,001736 × (3/4) + 0,000018 = 0,021285. Вероятность выпадения туза пик составляет 5/52 = 0,096154. Следовательно, вероятность выпадения как минимум двух тузов при наличии тузов пик равна 0,021285/0,096154 = 0,221369.

Таким образом, вероятность выпадения двух или более тузов при наличии хотя бы одного туза составляет 12,22%, а при наличии туза пик — 22,14%.

Рассмотрим другую, более простую ситуацию. Предположим, женщина А говорит: «У меня двое детей, и как минимум один из них — мальчик». Женщина Б говорит: «У меня двое детей, и старшего зовут Джон». Мы можем предположить, что ни у кого нет девочки по имени Джон, и ни одна женщина не дает одно и то же имя более чем одному ребенку. Используя условную вероятность, вероятность того, что оба ребенка женщины А будут мальчиками, равна pr(оба мальчика)/pr(как минимум один мальчик) = pr(оба мальчика)/(1-pr(оба девочки)) = (1/4)/(1-(1/4)) = (1/4)/(3/4) = 1/3. Однако вероятность того, что младший ребенок женщины Б — мальчик, или что оба ребенка — мальчики, равна ?, потому что утверждение, что старшего ребенка зовут Джон, ничего не говорит нам о младшем ребенке.

В качестве другого примера предположим, что вы зашли в Jiffy Lube, и вам предложили два варианта по одной и той же цене. Вариант А: они проверят четыре детали и заменят только первую обнаруженную неисправную. Вариант Б: они проверят только одну проблему и устранят её, если она будет обнаружена. Разве вы не предпочли бы вариант А? Ваша машина приехала с тем же количеством ожидаемых неисправных деталей, но вероятность обнаружения проблемы выше по варианту А, и, следовательно, вы уедете с небольшим количеством ожидаемых неисправных деталей. Аналогично, проверка на любой туз, вероятно, выявит единственный туз, в то время как проверка на туз пик не проверяет остальные три масти, что делает их более вероятными тузами.

Рубашкой вверх. Не имея возможности видеть карты других игроков до конца раздачи, игрок получает меньше информации, что работает против тех, кто считает карты.

Казино предпочитают распределять игроков в зависимости от суммы ставки. Одна из причин заключается в том, что за столами с высокими лимитами меньше игроков, поэтому крупные игроки участвуют в большем количестве раздач в час. Другая причина состоит в том, что, как говорят, игрокам нравится находиться в окружении других игроков со схожими размерами ставок. Если игрок захочет поставить 1000 долларов за столом со ставками в 5 долларов, это может вызвать у других игроков за этим столом чувство нервозности или дискомфорта. Третья причина – это превентивная мера против мошенничества.

Как я уже сотни раз говорил, нет волшебного числа, определяющего момент, когда вы вступаете в «долгосрочную перспективу». Однако чем впечатляюще ваши результаты, тем меньше раздач вам нужно, чтобы доказать, что они не случайны. В вашем случае вероятность получить 54,5% или больше из 2391 игры составляет примерно 1 к 200 000. Поэтому я бы сказал, что к этому рекорду следует отнестись очень серьезно. Вот как я получил эту цифру:

Ожидаемое количество побед = 2391/2 = 1195,5
Фактическое количество побед, превышающее ожидания = 107,5
Стандартное отклонение = sqrt(2391*(1/2)*(1/2)) = 24,45
Стандартное отклонение от ожидаемого значения = (107,5 + 0,5)/24,45 = 4,4174
Вероятность отклонения на 4,4174 стандартных отклонения или более = normsdist(-4,4174) = 0,000005 = 1 к 200 000

Да. Я никогда не слышал, чтобы игроку отказывали в его использовании.

Вероятность получить еще 2 карты одной масти составляет 39 * combin(11,2) / combin(50,3) = 0,109439. Вероятность получить еще 3 карты одной масти составляет combin(11,3) / combin(50,3) = 0,008418. Таким образом, вероятность получить как минимум еще 2 карты одной масти составляет 0,117857.