WOO logo

Wizard рекомендует

Спросите Волшебника #149

Волшебник, я только что прочитал о парадоксе Хуана Паррондо и подумал, что это может тебя заинтересовать. Он показывает, как можно поочередно разыгрывать две проигрышные игры, чтобы в итоге получить выигрышную. В любом случае, мне показалось это интересным «ловким трюком» для теоретиков игр. Мне нравится твой сайт!

Richard

Лично я не вижу ничего интересного в парадоксе Паррондо, но вы не первый, кто спрашивает меня об этом, поэтому я поделюсь своими мыслями. Суть парадокса в том, что, чередуя две проигрышные игры, игрок может получить преимущество.

В качестве примера рассмотрим игру 1, в которой вероятность выигрыша 1 доллара составляет 49%, а проигрыша 1 доллара — 51%. В игре 2, если банкролл игрока делится на 3 без остатка, у него 9% шанс выиграть 1 доллар и 91% шанс проиграть 1 доллар. В игре 2, если банкролл игрока не делится на 3, у него 74% шанс выиграть 1 доллар и 26% шанс проиграть 1 доллар.

В первой игре ожидаемое значение очевидно равно 49%*1 + 51%*-1 = -2%.

Во второй игре нельзя просто взять взвешенное среднее двух возможных результатов. Это связано с тем, что игра быстро начинается с остатка в банкролле, равного 1, при выигрыше, и часто чередуется между остатками в 0 и 2. Другими словами, банкролл будет непропорционально чаще играть в игру с 9% вероятностью выигрыша. В целом, при игре только во второй игре ожидаемое значение составляет -1,74%.

Однако, чередуя две игры в Игру 1 и две игры в Игру 2, мы нарушаем чередование Игру 2. Это приводит к тому, что мы чаще играем в игру с 75% вероятностью и реже — в игру с 9%. Существует бесконечное множество способов сочетать эти две игры. Стратегия «2 и 2», когда играешь два раунда в Игру 1 и два раунда в Игру 2, а затем повторяешь, приводит к ожидаемой вероятности 0,48%.

Следует подчеркнуть, что в казино это не имеет никакой практической ценности. Ни одна игра в казино не меняет правила в зависимости от остатка на счету игрока. Однако я предсказываю, что это лишь вопрос времени, когда какой-нибудь шарлатан выпустит систему ставок Parrondo, чередуя рулетку и крэпс, которая, конечно же, будет столь же бесполезна, как и любая другая система ставок.

В моем понимании «время ожидания» события — это величина, обратная вероятности этого события. Меня интересует расчет времени ожидания до выпадения двух подряд выпавших чисел на одной игральной кости. В симуляции я получаю в среднем 42 броска. Как мне установить связь с вероятностью выпадения двух подряд выпавших чисел?

Lee от Andover

Действительно, для одиночных событий, если вероятность равна p, то среднее время ожидания составляет 1/p. Однако с последовательными событиями ситуация усложняется. Пусть x — состояние, в котором последний бросок не выпал на двойку. Это также состояние в начале. Пусть y — состояние, в котором последний бросок выпал на двойку. После первого броска вероятность того, что мы останемся в состоянии x, составляет 5/6, а вероятность того, что мы останемся в состоянии y, — 1/6. Пусть Ex(x) — ожидаемое количество бросков из состояния x, а Ex(y) — ожидаемое количество из состояния y. Тогда...

Ex(x) = 1 + (5/6)*ex(x) + (1/6)*ex(y), и
Ex(y) = 1 + (5/6)*ex(x)

Решая эти два уравнения...

Ex(x) = 1 + (5/6)*ex(x) + (1/6)*( 1 + (5/6)*Ex(x))
Ex(x) = 7/6 + (35/36)*Ex(x)
(1/36)*Ex(x) = 7/6
Ex(x) = 36*(7/6) = 42

Таким образом, среднее время ожидания двух последовательных двоек составляет 42 броска кубика.

У меня похожая проблема, только для получения двух орлов нужны ожидаемые подбрасывания кубика. На моем сайте с математическими задачами , смотрите задачу 128.

Мой парень поддерживал переписку по электронной почте с бывшей возлюбленной, но разорвал её, когда она призналась, что её намерения по отношению к нему были нечестными. НО, девушка бывшей (она бисексуалка) затем написала моему парню электронное письмо, ругая его, и говорит, что он «вынужден» продолжать переписку, потому что он «однажды пытался разорвать отношения». Меня не смущали её намерения, и эта драма была раскрыта, несмотря на то, что бывшая отправляла ему открытки на праздники и «просто так», а также иногда писала СМС. Но однажды её девушка оставила ему странное сообщение на мобильный, притворившись мной и пригласив его на свидание. Он до сих пор утверждает, что его ответы на электронные письма ничем не примечательны, банальны и несексуальны, и что у него нет к ней чувств. Однако сегодня вечером в клубе, куда мы часто ходим, он запаниковал, оттащил меня от наших друзей, сказав, что они там, и МЫ должны уйти — он не хотел, чтобы они его видели. Я говорю, что он что-то скрывает. Он говорит, что нет; Просто её девушка настолько неуравновешенна, что он не знает, какие безумные поступки она может совершить на публике. Что здесь происходит?

Dawn от Sarasota

Я считаю, что паре практически невозможно остаться друзьями после расставания. В лучшем случае можно надеяться на отношения, как на открытке к Рождеству. Если же всё будет сложнее, как минимум один из партнёров начнёт задумываться о воссоединении. Хотя вы и не спрашивали, мой совет по поводу расставания — сделайте это резко и просто живите дальше. Конечно, я точно не знаю, что здесь происходит, но где дым, там и огонь. У вас недостаточно доказательств, чтобы выдвигать какие-либо обвинения, но продолжайте подозревать.

Местное казино закрывает игру Caribbean Stud, но по правилам MGC они должны сначала выплатить весь джекпот. Ставка составляет 5 долларов анте и 1 доллар дополнительной прогрессивной ставки. Выплаты производятся следующим образом: флеш — 150, фулл-хаус — 300, каре — 1500, стрит-флеш — весь джекпот (155 000) 1 декабря. По моим расчетам, мое преимущество на дополнительной ставке составляет невероятные 270%, но почти все это приходится на стрит-флеш. Если посмотреть только на три нижних выплаты, преимущество игрока составляет 8,7%. Достаточно ли этого, чтобы преодолеть преимущество казино на основной ставке в 5,25% или около того? Как мне объединить эти два преимущества? Очевидно, ставка выигрышная, если я думаю, что у меня есть шанс собрать стрит-флеш, но если я предполагаю, что у меня нет шансов собрать стрит-флеш, стоит ли играть в эту игру? Спасибо за ваше время.

James от St. Louis

По совпадению, я слышал о казино в Лас-Вегасе, которое сделало то же самое, потому что они хотели убрать свою игру Caribbean Stud. Вот общая формула для расчета ожидаемой прибыли, когда стрит-флеш приносит полный джекпот: (((5108*FL+3744*FH+624*FK+40*J)/2598960)-M*0.052243-1)/(M+1), где

FL = Выигрыш флеша
FH = Фулл-хаус победа
FK = Четыре одинаковых
n J = Сумма джекпота
M = Минимальная ставка до начала игры

В вашем случае мы имеем (((5108*150+3744*300+624*1500+40*155000)/2598960)-5*0.052243-1)/(5+1) = 36,858%. Таким образом, преимущество игрока составляет 36,858% от суммарного анте плюс дополнительная ставка в 1 доллар, или ожидаемая прибыль в размере 2,21 доллара за раздачу.

Предположим, в отеле 10 000 000 номеров и 10 000 000 электронных ключей. Из-за компьютерной ошибки каждый ключ запрограммирован случайным кодом с вероятностью 1 к 10 000 000. Все номера в отеле заняты. Какова вероятность того, что хотя бы у одного клиента есть рабочий ключ?

Danny от London, U.K.

Точный ответ: 1 - (9 999 999 / 10 000 000) / 10 000 000 = 0,632121. Это также то же самое, что (e-1) / e с точностью до семи знаков после запятой.

У нас в офисе разгорелся спор по поводу показа карт в техасском холдеме. Может ли игрок показать свои закрытые карты за столом, если он решил сбросить карты, даже если есть игроки, продолжающие делать ставки? Существует ли какое-либо конкретное правило?

Rick от Ottawa, Canada

Это крайне невежливо с точки зрения покерного этикета. Если бы вы сделали это в Вегасе, вас, вероятно, предупредили бы, чтобы вы больше так не поступали. А во второй раз вас, скорее всего, заставили бы покинуть стол.

Я играю в трехкарточный покер, карибский стад и четырехкарточный покер за столами с автоматической перетасовкой карт. Меня поражает, как часто играбельная трехкарточная комбинация выпадает в четырехкарточной игре, и как часто играбельная четырехкарточная комбинация выпадает в карибском стаде. Это заставляет меня задуматься, не запрограммированы ли эти машины для перетасовки карт в пользу заведения. Действительно ли эти машины работают по принципу случайности или они запрограммированы в интересах заведения, и если запрограммированы, то разве это не противозаконно?

Cherrice от North Carolina

Я твердо убежден, что производители машин для перемешивания карт, по крайней мере, пытаются сделать их максимально честными и случайными. Уверен, что машина, намеренно сделанная с ошибками, нарушила бы закон штата Невада. Довольно легко увидеть хорошие комбинации из x карт в x+1 картах. Например, вероятность выпадения тройки из трех карт составляет 0,235%, а из четырех — 0,922%, или почти в четыре раза выше.

Я дружу с коллегой уже год. Я не могу перестать думать о ней. Я немного колеблюсь, прежде чем сделать следующий шаг, потому что а) не хочу получить отказ и, возможно, потерять нашу прекрасную дружбу; б) отношения с коллегами могут быть сложными, особенно если ничего не получится. В любом случае, каковы шансы, что я влюблюсь в неё? А каковы шансы, что она влюбится в меня?

Jason от Vancouver, Canada

Во-первых, позвольте мне высказать своё мнение о романтических отношениях с коллегами. Я полностью за это! Я также не уважаю правила, запрещающие отношения между сотрудниками. И так непросто знакомиться с людьми, не говоря уже о том, чтобы ещё и ограничивать общение с теми, кого видишь каждый день. Однако я бы сделала исключение, если бы эти двое занимали одну и ту же должность. Судя по всему, в данном случае это не так, поэтому не позволяйте пункту Б стать препятствием.

Тот факт, что вы дружите, — очень хороший знак. Я понимаю, это звучит ужасно по-подростковому, но есть ли кто-то, кому вы доверяете и кого могли бы попросить узнать, что она к вам чувствует? Если нет, может быть, вы могли бы иногда устраивать ужин после работы с ней и другими коллегами. Возможно, в более непринужденной обстановке, и желательно с парой бокалов, вы сможете немного глубже расспросить её. Делайте всё, чтобы подогреть интерес, не говоря прямо о своих чувствах. Если вы это сделаете, а она не разделит ваших чувств, это разрушит вашу дружбу.

Отвечая на ваш вопрос, вероятность того, что вы влюбляетесь в неё, явно приближается к 100%. Трудно сказать обратное, но, вероятно, это всего около 10%. Однако не позволяйте этому вас обескураживать, ей просто может понадобиться больше времени. Удачи вам. Мне было бы интересно узнать, что произойдёт.