Дополнение к рубрике «Спроси волшебника» № 158.

В НБА в каждой конференции по 3 дивизиона, и в плей-офф выходят 8 команд из каждой конференции. Три лучшие команды каждой конференции — это победители дивизионов, а команды, занявшие места с 4-го по 8-е, — это команды, не являющиеся победителями дивизионов, с лучшими результатами. В этом году две команды из одного дивизиона Западной конференции, «Сан-Антонио Спёрс» и «Даллас Маверикс», имеют лучшие результаты на Западе. Если так продолжится, это означает, что вторая лучшая команда Западной конференции получит 4-й посевной номер и ей придётся встретиться с лучшей командой во втором раунде, если обе команды одержат победу. Многие указывают на это как на проблему системы, в то время как НБА считает это аномалией. В попытке объяснить, что это не аномалия, поскольку такое может происходить часто, аналитик ESPN недавно сделал следующее заявление в блоге: «В каждой конференции по 15 команд, и по пять команд в каждом из трех дивизионов. Это означает, что существует 4 из 14 шансов, что команда со вторым лучшим результатом будет из того же дивизиона, что и команда с лучшим результатом». Прав ли он, утверждая, что вероятность этого события в конкретной конференции составляет 4/14? Как это можно рассчитать? Если он прав, то это будет происходить как минимум в одной из конференций в 57% случаев, верно? — Эй Джей из Хантингтон-Вудс, Мичиган

Да, он прав. Существует 105 комбинаций (15,2) = 105 способов выбрать две лучшие команды из 15. Из этого дивизиона существует 3* комбинаций (5,3) = 30 способов выбрать их. Таким образом, вероятность того, что две лучшие команды окажутся из одного дивизиона, составляет 30/105 = 4/14. Вероятность того, что это произойдет хотя бы в одной конференции, составляет 1-(10/14) ^² = 48,98%.

Один из читателей написал мне письмо с критикой моих предположений. Вот его письмо целиком .

Привет, Волшебник!

Я большой поклонник вашего сайта — там масса полезной информации. Просматривая некоторые из ваших старых страниц «Спроси у волшебника», я наткнулся на вопрос, который, как мне кажется, решен слишком упрощенно. Нужно учитывать не только информацию, использованную для решения задачи. Думаю, ваш ответ немного завышен по сравнению с истинным.

Вопрос задан в рубрике «Спроси у Волшебника» № 158 и касается посева команд НБА. Утверждается, что две лучшие команды конференции будут из одного дивизиона 4 раза из 14. Ваш ответ, кажется, исходит из предположения, что у каждой команды равная вероятность занять любое место в итоговой турнирной таблице конференции. Хотя это может быть правдой и может быть безопасным предположением для данной задачи, тогда, кажется, вы предполагаете, что у каждой команды из этого списка равная вероятность оказаться в любом из 3 дивизионов. Я не думаю, что это так, и считаю, что причина кроется в способе формирования турнирной таблицы. А именно, проводятся игры, начисляются очки, и рейтинг каждой команды не является независимым от рейтинга другой команды, а также не является независимым от дивизиона, в котором она находится.

Мне не всегда удается хорошо объяснять вещи, но я постараюсь объяснить, почему. Я считаю, что на итоговое место в турнирной таблице влияет несколько несбалансированное расписание игр команд. Каждая команда сыграет 16 игр против команд своего дивизиона — по 4 против каждой команды. Но каждая команда сыграет только 36 игр против других команд своей конференции — 4 против 6 команд и только 3 против 4 команд. Это приводит к тому, что команды чаще борются за очки с командами своего дивизиона, чем за очки, набранные в других дивизионах. В результате команда, занявшая первое место в конференции, часто добивается этого, набрав больше очков в своем дивизионе, чем две другие команды-победительницы дивизионов. Это означает, что команде, занявшей второе место в дивизионе победителя конференции, сложнее набирать очки, и, следовательно, у нее меньше шансов занять второе место по количеству очков в конференции.

Я понимаю, что это расхождение будет ничтожно малым, и понятия не имею, как его можно количественно оценить, но я считаю, что можно было бы написать компьютерную симуляцию (что выходит далеко за рамки моих возможностей), чтобы выяснить, какое влияние это может оказать.

Чтобы это стало еще более очевидным, в НХЛ используется еще более несбалансированное расписание. Каждая команда играет те же 82 игры, что и в НБА. Но каждая команда играет 32 игры в своем дивизионе — по 8 против каждой из 4 других команд. Затем они играют 40 игр против соперников из других конференций — по 4 против каждой из 10 других команд в конференции.Таким образом, команда, занимающая первое место в данном дивизионе, может отбирать гораздо больше очков у команды, занимающей второе место в этом же дивизионе, что затрудняет для этой команды завоевание второго места по общему количеству очков в конференции.

Наконец, чтобы привести пример, который сделает это гораздо понятнее, рассмотрим конференцию, в которой всего 4 команды — 2 дивизиона по 2 команды в каждом. Используя логику, которую вы использовали для ответа на исходный вопрос об НБА, вероятность того, что две лучшие команды окажутся в одном дивизионе, должна составлять 1 к 3.

Если мы используем сбалансированное расписание, предположим, что каждая команда сыграет с каждой командой по одному разу. Если правильно учесть ничьи в турнирной таблице, то компьютерное моделирование покажет, что две лучшие команды будут из одного дивизиона в 33,33% случаев, как и ожидалось.

Однако, если мы будем придерживаться несбалансированного расписания, это изменит ситуацию. Допустим, каждая команда играет с другой командой своего дивизиона 2 раза, а с каждой командой другого дивизиона — только 1 раз. И предположим, что сначала идут 2 игры против соперника из того же дивизиона. Таким образом, после того, как каждая команда сыграет 2 игры, должно быть ясно, что команда, занимающая второе место в любом дивизионе, будет либо сравняться по очкам, либо отставать от команды, занимающей первое место в противоположном дивизионе. Поэтому ей будет гораздо сложнее наверстать упущенное в последних 2 играх, чтобы обогнать команды, которые ей необходимы для того, чтобы подняться на второе место в общем зачете конференции. Быстрое компьютерное моделирование этих условий с использованием данного расписания показывает, что две лучшие команды будут из одного дивизиона только в 27,07% случаев. Снижение примерно на 6,26%.

Однако это относится только к конференции из 4 команд с расписанием из 4 игр, где соотношение игр внутри дивизиона и игр между дивизионами составляет 2:1. Если же расширить это до конференции из 15 команд с расписанием из 82 игр, где соотношение игр внутри дивизиона и игр между дивизионами гораздо ближе к 4:3,6, как я уже говорил, то я ожидаю, что отклонение от полученного вами числа 4/14 будет минимальным. Вероятно, оно будет значительно ниже 1%, но всё равно будет, поэтому однозначное значение 4/14 определить нельзя.

В общем, я просто хотел это отметить, а также поблагодарить вас за то, что вы предоставили мне интересную задачу для размышления и развития мышления.

С уважением,
Джонатан Брэдфорд