Спросите Волшебника #220

Нарды — одна из моих любимых азартных игр. Я не пишу о них, потому что анализ игр между игроками крайне сложен. К тому же, я никак не могу найти в этой игре ничего принципиально нового. Поэтому я оставлю советы другим. Вот мои рекомендуемые ресурсы:

Нарды Пола Магриэля: Если бы существовала Библия нардов, это была бы она. Я горжусь тем, что являюсь обладателем старого издания в твердом переплете. Эта книга станет отличным началом. Хотя она была написана в 1976 году, советы по-прежнему актуальны.

«501 основная задача по нардам» Билла Роберти: Я пытаюсь осилить эту книгу уже много лет, и до сих пор прошел только половину пути. Удручает, что я допускаю ошибки в половине задач, и это заставляет меня думать, что я играю в нарды так же плохо, как и в гольф. Однако каждая ошибка – это ценный урок. Для игроков среднего и продвинутого уровня эта книга станет ценным и поучительным инструментом.

Программа для игры в нарды Snowie : я играю около 1000 партий в год против этой программы. Snowie не только играет практически идеально, но и точно показывает, насколько дорогостоящими могут быть ваши ошибки, когда вы их совершаете. Есть много других функций, которые я никогда не изучал. Если я чему-то и научился у Snowie, так это тому, что самая большая проблема в моей игре — это глупые ошибки, когда я иногда не замечаю совершенно очевидных ходов. Как и в шахматах, один плохой ход может перечеркнуть 100 хороших.

Сайт Motif : До покупки Snowie я сыграл бесчисленное количество партий против Motif. Стратегия, используемая Motif, на мой взгляд, очень надежна. Нет ничего лучше, чем играть против более сильного соперника, чтобы улучшить свою собственную игру.

Позвольте мне начать с некоторых предположений. Во-первых, я буду исходить из того, что у трёх игроков нет предварительных знаний о правилах ставок в финальном раунде Jeopardy, за исключением вероятностей правильного ответа в представленной таблице. Во-вторых, я буду исходить из того, что знание категории ничем не поможет. В-третьих, я также буду исходить из того, что все три участника хотят победить, не желая брать с собой ещё одного игрока в случае ничьей.

Начнём с игрока C. Он должен предположить, что A может поставить 6001 доллар, чтобы остаться выше B, если B окажется прав. Однако, если A окажется неправ, его ставка снизится до 3999 долларов. В таком случае C нужно будет поставить как минимум 500 долларов и оказаться правым, чтобы обыграть A. Однако, на мой взгляд, если для победы необходимо быть правым, то лучше поставить по-крупному. Поэтому, если бы я был C, я бы поставил всё.

В разрывается между большой и маленькой ставкой. Небольшая ставка должна составлять 999 долларов или меньше, чтобы остаться выше С, если С окажется прав. Преимущество небольшой ставки в том, чтобы остаться выше С любой ценой, надеясь, что А поставит большую сумму и ошибется. Большая ставка не обязательно должна быть выигрышной, но она вполне может быть выигрышной. Преимущество большой ставки в том, чтобы надеяться, что А либо поставит маленькую сумму, либо поставит большую и ошибется, но в обоих случаях для этого необходимо, чтобы В оказался прав.

По сути, А хочет пойти тем же путем, что и В. Небольшая ставка для А может составлять от 0 до 1000 долларов, и эта сумма останется выше, чем у В, если В поставит 999 долларов. Крупная ставка должна составлять 6001 доллар, чтобы гарантировать выигрыш, если А окажется прав, и сохранить надежду, если В поставит большую сумму, а все три игрока окажутся неправы.

Чтобы оценить вероятность восьми возможных исходов правильных и неправильных ответов, я проанализировал результаты финального раунда Jeopardy за сезоны с 20 по 24 с сайта j-archive.com (сейчас недоступен). Вот как выглядят результаты, где игрок А лидирует, за ним следует игрок В, а С находится на последнем месте.

Используя логику теории игр, которую я объясняю в задаче 192 на своем сайте mathproblems.info , я обнаружил, что A и B должны рандомизировать свою стратегию следующим образом.

Игроку А следует делать крупные ставки с вероятностью 73,6% и мелкие — с вероятностью 26,4%.
Игроку B следует сделать крупную ставку с вероятностью 67,3% и небольшую — с вероятностью 32,7%.
Игроку C следует сделать крупную ставку с вероятностью 100,0%.

Если следовать этой стратегии, вероятность выигрыша каждого игрока будет следующей:

Игрок А: 66,48%
Игрок B: 27,27%
Игрок C: 6,25%

В качестве дополнения, исходя из приведенной выше таблицы, вероятность того, что лидер правильно ответит на финальный вопрос, составляет 54,4%, для игрока, занявшего второе место, — 49,8%, а для игрока, занявшего третье место, — 48,7%. Общая вероятность составляет 51,0%.

В качестве практического замечания, игроки действительно обладают знаниями о поведении игроков в ставках. На мой взгляд, игроки чаще делают крупные ставки, чем это математически оправдано. Интересно, что я считаю ставки в Daily Double слишком консервативными, чем это математически оправдано. Одна из причин, по которой, как мне кажется, Кен Дженнингс так хорошо себя показал, — это агрессивные ставки в Double Doubles. В любом случае, если бы я действительно участвовал в шоу, я бы предположил, что два других игрока делали бы агрессивные ставки. Таким образом, мои реальные ставки составили бы 6000 долларов за A (будучи вежливым с B), 0 долларов за B и 3495 долларов за C (оставляя небольшую сумму без ставки на случай, если A по глупости поставит все или все, кроме 1 доллара, и окажется неправ).

Прежде чем кто-нибудь начнет меня расспрашивать о том, как можно вытянуть случайное число в реальном месте проведения мероприятия, позвольте мне предложить стратегию Стэнфорда Вонга: использовать секундную стрелку часов, чтобы вытянуть случайное число от 1 до 60.

Если отбросить вопрос о невозможности создания такой системы, я бы запросил около 50 миллионов долларов. Если бы у меня не было покупателей, хорошо, я бы просто сам заработал гораздо больше.

Второстепенная причина – это противодействие игрокам, считающим карты. Однако вместо того, чтобы сжигать x карт, дилер мог бы переместить разделительную карту на x карт вперед и добиться того же результата. Главная причина – защита игры. Во-первых, игрок может мельком увидеть верхнюю карту и изменить свою ставку и стратегию, основываясь на этой информации. Такая тактика, добавлю я, не будет считаться мошенничеством. Верхняя карта также уязвима для множества мошеннических схем. Ее можно пометить, дилер может подсмотреть на нее или заставить дилера выложить наверх нужную карту. Если по какой-либо причине дилер знает, какая карта верхняя, он может передать эту информацию сообщнику, получив огромное преимущество.