Спросите Волшебника #226

На основе шести колод я показываю, что если игрок с 21 очком играет против блэкджека, преимущество казино снижается на 0,37%. Если ничья в блэкджеке приносит выигрыш 3 к 2, преимущество казино снижается на 0,32%. Никаких изменений в стратегии не требуется.

Надеюсь, вы довольны. Мои познания в правилах и стратегии баскетбола довольно слабы, поэтому я спросил нескольких друзей, которые разбираются в этом лучше меня, и ни разу не получил одинаковый ответ. Некоторые ответы были прямо противоположными друг другу. Из обсуждения я вывел две теории: (1) общий процент попаданий с игры в НБА составляет около 50% ( источник ), и (2) есть вероятность, что при попытке двухочкового броска игрок получит фол и всё равно попадёт в корзину. Извините, что не могу объяснить лучше.

Если вы подразумеваете, что казино меняет шансы в игре, пока вы сидите и играете, то я бы сказал, что это просто миф. Чтобы изменить шансы в игре, производителю игрового автомата пришлось бы открыть его и заменить микросхему EPROM . В играх, основанных на серверном принципе, где это можно сделать удаленно, правила требуют, чтобы игра не запускалась в течение определенного количества минут, прежде чем можно будет внести какие-либо изменения.

Если вы подразумеваете, что казино предоставляет игровому автомату неограниченные возможности в течение первых нескольких дней, чтобы привлечь новых игроков, а затем заменяет микросхему EPROM на более щадящую, то я тоже с этим не соглашусь. Это легко можно сделать, и это законно, но я сомневаюсь, что это так. В ходе моего исследования игровых автоматов я обнаружил, что в каждом конкретном казино довольно стабильно применялся принцип «максимальных или минимальных» ставок.

Это не учитывает того факта, что индивидуальные результаты должны быть в некоторой степени отрицательно коррелированы, и что среднее количество очков, пропущенных каждой командой, так же важно, как и среднее количество набранных очков. Если мы предположим, что ожидаемое количество очков в игре составляет 1,5 и 1,2, учитывая как нападение, так и защиту, и проигнорируем фактор корреляции, то мы сможем получить неплохую оценку ваших трех вероятностей. Существует множество подобных прогнозов на Супербоул, но они основаны на том, кто забьет больше тачдаунов, филд-голов, перехватов и т. д.

Первый шаг — использовать распределение Пуассона для оценки вероятности каждого количества голов для каждой команды. Общая формула: вероятность того, что команда забьет g голов со средним значением m, равна e ^-m × m ^g /g!. В Excel можно использовать формулу poisson(g,m,0). В следующей таблице показана вероятность забития от 0 до 10 голов обеими командами с использованием этой формулы.

Следующий шаг довольно банален, но вам нужно составить матрицу из всех 81 возможных комбинаций результатов от 0 до 8 для каждой команды. Это делается путем умножения вероятности x результатов для команды A на вероятность y результатов для команды B из приведенной выше таблицы. В следующей таблице показана вероятность каждой комбинации результатов от 0-0 до 8-8.

В следующей таблице показан победитель в зависимости от комбинации голов, где T обозначает ничью.

Наконец, вы можете использовать функцию SUMIF в Excel, чтобы сложить значения в соответствующих ячейках для всех трех возможных исходов ставки. В этом случае вероятности будут следующими:

Победы A = 44,14%
Победа команды B = 30,37%
Ничья = 25,48%

В приложении C книги Стэнфорда Вонга «Sharp Sports Betting» приведены вероятности выигрыша/проигрыша/ничьи для подобных ставок. В данном случае он указывает 44%, 30% и 25%. Если кто-нибудь знает простую формулу для решения этой задачи, я с удовольствием выслушаю.

Дополнение: Я получил электронное письмо от Боба П., который всегда держит меня в тонусе, когда дело касается математики. Вот что он написал.

Я посмотрел распределение разности двух некоррелированных распределений Пуассона. Это распределение Скеллама (для меня это новость).

В любом случае, вопрос можно сформулировать как P(Z=0), P(Z>0) и P(Z<0), где Z — скелет с параметрами 1,5 и 1,2.

Если вы этого еще не сделали, вам будет приятно узнать.

P(Ничья) = P(Z=0) = 0,254817

P(A побеждает B) = P(Z>0) = 0,441465

P(B побеждает A) = P(Z<0) = 1 - 0,254817 - 0,441465 = 0,303718

Практически точно такие же, как ваши ответы.

В статье Википедии о Скелламе упоминались функции Бесселя , а это как раз тот момент в математическом анализе, когда мне становится страшно углубляться дальше. Поэтому я поверю Бобу на слово.

Ответ и решение можно найти на моем дополнительном сайте mathproblems.info , задача 201.