Спросите Волшебника #258

Я действительно считаю, что это фактор, который следует учитывать, хотя и несколько незначительный, при принятии решения о покупке лотерейного билета. Чтобы ответить на ваш вопрос, я использовал сумму джекпота и данные о продажах, найденные на сайте lottoreport.com . Я проанализировал лотерею Powerball с января 2008 года, поскольку это самый ранний период, за который у этого сайта есть данные. Я также проанализировал лотерею Mega Millions с июня 2005 года, когда произошли изменения в правилах. В следующей таблице приведены результаты моих исследований.

Таким образом, средняя вероятность того, что джекпот будет разделен, составляет 0,74% в Powerball и 1,29% в Mega Millions. По мере увеличения джекпота и роста продаж возрастает и вероятность его разделения. Причина более высокой вероятности разделения джекпота в Mega Millions заключается в том, что вероятность выигрыша выше, и существует большая конкуренция со стороны других игроков.

В целом, я показываю, что 4,01% выигрыша теряется из-за распределения джекпота в Powerball, а 6,59% — в Mega Millions. Однако эти цифры не учитывают налоги, а также то, что джекпоты выплачиваются в виде аннуитета. Чтобы это учесть, я предположил, что игрок получает только половину выигрыша, либо выбрав единовременную выплату, либо потеряв часть стоимости из-за выбора аннуитета. Я также предположил, что 30% оставшейся суммы теряется на налоги, поэтому победитель может рассчитывать на получение 35% после учета обоих факторов. После этой корректировки я показываю потерю 1,20% выигрыша из-за распределения джекпота в Powerball и 1,98% в Mega Millions.

Этот вопрос был поднят и обсужден на форуме моего дочернего сайта Wizard of Vegas .

На основе моделирования 7,7 миллиардов раздач, предполагая, что игрок следует правилам казино, вероятность ничьей в первой (младшей) раздаче составляет 2,55%, или 1 к 39,24. Вероятность ничьей во второй (старшей) раздаче составляет 0,038%, или 1 к 2637. Вероятность двойной ничьей составляет примерно 1 к 78200.

Во-первых, «правило 72» — это приблизительное значение времени, необходимого для удвоения ваших денег, а не точный ответ. В следующей таблице показаны значения «правила 72» и точное количество лет для различных годовых процентных ставок.

Почему именно 72? Необязательно точное значение 72. Это просто число, которое хорошо подходит для реалистичных процентных ставок, которые вы, вероятно, увидите при инвестировании. Оно почти точно соответствует процентной ставке 7,8469%. В числе 72 нет ничего особенного, как, например, в π или e. Почему любое число подходит? Если процентная ставка равна i, то давайте вычислим количество лет (y), необходимых для удвоения инвестиций.

2 = (1+i) ^y
ln(2) = ln(1+i) ^y
ln(2) = y × ln(1 + i)
y = ln(2)/ln(1+i)

Возможно, это не самый лучший мой ответ, но попробуйте следовать этой логике: пусть y = ln(x).
dy/dx=1/x.
1/x ≈ x при значениях x, близких к 1.
Таким образом, dy/dx ≈ 1 для значений x, близких к 1.
Таким образом, наклон графика ln(x) будет близок к 1 при значениях x, близких к 1.
Таким образом, наклон графика ln(1+x) будет близок к 1 при значениях x, близких к 0.
«Правило 72» гласит, что 0,72/i ≈ 0,6931/ln(1+i).
Мы установили, что i и ln(1+i) подобны для значений i, близких к 0.
Таким образом, 1/i и 1/ln(1+i) похожи для значений i, близких к 0.
Использование 72 вместо 69,31 позволяет скорректировать различия между i и ln(1+i) для значений i около 8%.

Надеюсь, это хоть как-то понятно. Мои знания математического анализа довольно сильно подзабылись; мне потребовались часы, чтобы разобраться в этом самостоятельно.

Этот вопрос был поднят и обсужден на форуме моего дочернего сайта Wizard of Vegas .

Это кажется математическим парадоксом, но на самом деле это всего лишь злоупотребление формулой ожидаемой ценности. Как вы отметили в вопросе, кажется, что в другом конверте должно быть на 25% больше, чем в выбранном вами. Однако, если вы в это верите, то можете сразу выбрать другой конверт. Более того, вы можете использовать этот аргумент, чтобы бесконечно переключаться между конвертами, если не успеете открыть их перед принятием решения о переключении. Очевидно, что в аргументе ожидаемой ценности есть какой-то недостаток. Вопрос в том, где этот недостаток?

Я потратил много времени на изучение этой проблемы и её обсуждение на протяжении многих лет. Я слышал и читал множество объяснений того, почему аргумент y = 0,5x + 0,5*2x = 1,25x неверен. Многие использовали в своих объяснениях множество страниц сложной математики, что, на мой взгляд, излишне. Это простой вопрос, требующий простого ответа. Поэтому я решил попробовать ответить на него.

Следует очень осторожно относиться к тому факту, что в одном конверте вдвое больше денег, чем в другом. Назовем сумму в меньшем конверте S, а в большем — L. Таким образом, получаем:

L=2×S
S=0,5×L

Обратите внимание, как коэффициенты 2 и 0,5 применяются к разным конвертам . Нельзя применять оба коэффициента к одной и той же сумме. Если в первом конверте 100 долларов, то в другом, меньшем по размеру, будет 200 долларов. Если в большем конверте 100 долларов, то в другом будет 50 долларов. Таким образом, в другом конверте будет либо 50, либо 200 долларов. Однако нельзя сразу сказать, что вероятность получения каждого приза составляет 50/50. Это потому, что в этом случае коэффициенты 0,5 и 2 применялись бы к одной и той же сумме, чего делать нельзя. Не зная распределения призов, нельзя присвоить возможные суммы второму конверту.

Если аргумент 0,5x/2x неверен, то как правильно рассчитать ожидаемое значение другого конверта? Я бы сделал это так: разница между двумя конвертами равна LS = 2S-S = S. При переключении вы либо получите, либо потеряете S, в зависимости от суммы. Если в двух конвертах 50 и 100 долларов, то при переключении вы получите или потеряете 50 долларов. Если в двух конвертах 100 и 200 долларов, то при переключении вы получите или потеряете 100 долларов. В любом случае, ожидаемая выгода от переключения равна 0. Думаю, можно сказать, что если в первом конверте 100 долларов, то существует 50% вероятность того, что разница во втором конверте составит 50 долларов, и 50% вероятность того, что она составит 100 долларов. Таким образом, ожидаемая разница составляет 75 долларов. Таким образом, ожидаемая стоимость другого конверта составляет 0,5 × (100 + 75) + 0,5 × (100 - 75) = 0,5 × (175 + 25) = 100.

Надеюсь, это хоть немного понятно. Эта проблема всегда вызывает множество комментариев. Если у вас есть вопрос, пожалуйста, не пишите мне напрямую, а опубликуйте его на моём форуме Wizard of Vegas. Ссылка ниже.

Этот вопрос был поднят и обсужден на форуме моего дочернего сайта Wizard of Vegas .

Ссылки

• Википедия
• Дэвид Чалмерс
• www.cut-the-knot.org
• physorg.com