Спросите Волшебника #277

Во-первых, стоит повторить, что комбинация 16 против 10 — это крайне пограничная ситуация между «взять карту» и «остаться». Если вам разрешено сдаться, это гораздо лучше, чем брать карту или оставаться в игре, для игрока, придерживающегося базовой стратегии. В противном случае, в среднем, взять карту немного выгоднее. Для того чтобы склонить чашу весов в пользу «остаться», достаточно удалить всего одну маленькую карту из колоды из восьми карт, потому что с одной маленькой картой меньше остается больше больших карт, что делает взятие карты более опасным. Именно поэтому я говорю, что если ваша комбинация из 16 состоит из трех или более карт, вам следует остановиться, потому что комбинация из 16 из 3 карт обычно включает в себя удаление как минимум двух маленьких карт из колоды.

Во-вторых, если после перетасовки первая рука и стратегия подсчета карт различаются в том, как разыграть руку, то преобладает основная стратегия. Основная стратегия была тщательно разработана с учетом точного состава колоды на основе конкретных наблюдаемых карт. Таблица значений индексов — более грубый инструмент, применимый ко всей колоде.

В данном конкретном случае игрок, считающий карты, может либо взять карту, либо остановиться, в зависимости от того, как он округляет истинное число. Если он округляет в меньшую сторону, истинное число будет -1, что означает, что он берет карту. Если он округляет в большую сторону, или до ближайшего целого числа, истинное число будет 0, что означает, что он останавливается. Раз уж я затронул этот момент, согласно книге Дона Шлезингера «Атака на Блэкджек», предпочтительным методом округления является «опускание до нуля», или округление в меньшую сторону, в данном случае до -1, что означает, что игрок правильно берет карту.

Ещё одна похожая ситуация — 15 против 10. В 83% случаев (при 10+5 или 8+7, но не при 9+6) это приводит к текущему счёту -1 в первой раздаче после перемешивания, и индекс для сдачи равен 0. Округление в меньшую сторону приведёт к тому, что игрок неправильно возьмёт карту, тогда как сдача предпочтительнее.

В итоге, при принятии первого решения после перемешивания карт, когда у других игроков нет других карт, игрок, считающий карты, должен использовать базовую стратегию. После этого следует продолжить использование порядковых номеров.

Этот вопрос был поднят и обсужден на форуме моего дочернего сайта Wizard of Vegas .

Я не знаю. Но, думаю, могу с уверенностью сказать, что самый ранний патент на игру в казино, в которую играют сегодня, — это патент на Caribbean Stud Poker. Вероятно, до него были и другие патенты на игры, которые так и не получили распространения. Патент на Caribbean Stud был подан 18 апреля 1988 года и выдан 6 июня 1989 года. Номер патента: 4 836 553 .

Вы, конечно, не спрашивали, но в то время патенты на игры для казино действовали в течение 17 лет с даты выдачи или 20 лет с даты подачи заявки, в зависимости от того, что было больше. В 1995 году срок действия был продлен до 20 лет с даты подачи заявки. В случае с Caribbean Stud срок действия патента истек бы в 2008 году. Однако, я думаю, что товарные знаки по-прежнему действительны, а это значит, что казино может предлагать игру без уплаты роялти, но ему придется придумать другое название, не являющееся товарным знаком.

Этот вопрос был поднят и обсужден на форуме моего дочернего сайта Wizard of Vegas .

Да! Ставьте на сторону, лежащую в руке подбрасывающего монету. В научной статье «Динамическая предвзятость при подбрасывании монеты» Перси Диаконис, Сьюзан Холмс и Ричард Монтгомери делается вывод, что монета упадет на ту же сторону, с которой начала падение, в 51% случаев.

Этот вопрос был поднят и обсужден на форуме моего дочернего сайта Wizard of Vegas .

Для получения практически точного ответа на подобные сложные вопросы нам необходимо использовать матричную алгебру. Я ответил на похожий, но более простой вопрос в своей колонке от 4 июня 2010 года . Если ваши знания матричной алгебры подзабылись, я бы посоветовал сначала обратиться к той статье.

Шаг 1: Определите вероятность выпадения от 0 до 6+ роял-карт в первых 5000 раздачах. Предположим, вероятность выпадения роял-карты составляет 1 к 40 000. Ожидаемое число в 5000 раздачах равно 5000/40000 = 0,125. Используя оценку Пуассона, вероятность выпадения ровно r роял-карт равна e ^-0,125 × 0,125 ^r /r!. Вот эти вероятности:

Шаг 2: Предположим, что для оставшихся 24 995 000 раздач существует семь состояний. В каждом из них в предыдущих 5000 раздачах может быть 0, 1, 2, 3, 4 или 5 роял-карт, или же игрок мог уже получить шесть роял-карт за 5000 раздач, в этом случае успех достигнут и не может быть отменен. С каждой новой раздачей с состоянием игрока может произойти одно из трех:

1. Снижение уровня. Это происходит, если рука, сыгранная 5000 игр назад, состояла из роял-карты, а теперь выбывает из игры, и новая рука не состояла из роял-карты.
2. Остаться на том же уровне. Обычно это происходит, если раздача, сыгранная 5000 игр назад, не была роял-картой, и новая раздача тоже не является роял-картой. Это также может произойти, если раздача, сыгранная 5000 игр назад, была роял-картой, но новая раздача тоже является роял-картой.
3. Перейдите на следующий уровень. Это произойдет, если рука, сыгранная 5000 игр назад, не была роял-картой, а новая рука ею является.

Шаг 3: Разработайте матрицу переходов для вероятности каждого изменения состояния при каждой дополнительной сыгранной игре.

Первый ряд будет соответствовать уровню 0 до начала новой раздачи. Вероятность перехода на уровень 1 в следующей раздаче составляет всего 1 к 40 000. Вероятность остаться на уровне 0 составляет 39 999/40 000.

Вторая строка будет соответствовать уровню 1 до начала новой раздачи. Вероятность перехода на уровень 2 в следующей раздаче равна произведению вероятности не проиграть роял-карту в выбывающей раздаче и получить роял-карту в новой раздаче = (4999/5000)×(1/40000) = 0,0000250. Вероятность возвращения на уровень 0 равна произведению вероятности выбыть роял-карту и не получить роял-карту в текущей игре = (1/5000)×(39999/40000) = 0,0002000. Вероятность сохранения прежнего уровня составляет pr(отсутствие снижения числа королевских особей) × pr(отсутствие новых королевских особей) + pr(снижение числа королевских особей) × pr(новые королевские особи) = (4999/5000)×(39999/40000) + (1/5000)×(1/40000) = 0,9997750.

Вероятности для строк со 2 по 6 будут зависеть от количества роял-карт в истории последних 5000 раздач. Чем больше их, тем выше вероятность того, что одна из них исчезнет при начале новой раздачи. Пусть r — количество роял-карт в последних 5000 раздачах, а p — вероятность получения новой роял-карты.

Pr(повышение уровня) = Pr(отсутствие снижения уровня королевской семьи) × Pr(новая королевская семья) = (1-(r/5000))× p.

Pr(остаться на том же уровне) = Pr(не отчислять королевские особи) × Pr(не причислять новых королевских особей) + Pr(отчислять королевские особи) × Pr(причислять новых королевских особей) = (1-(r/5000))× (1-p) + (r/5000)×p.

Pr(понижение уровня) = Pr(снижение числа членов королевской семьи) × Pr(отсутствие новых членов королевской семьи) = (r/5000)× (1-p).

Седьмая строка соответствует достижению состояния успеха, при котором шесть королевских карт выпадают из 5000 рук. Достигнув этого результата, его уже не вернуть, поэтому вероятность остаться в этом состоянии успеха составляет 100%.

Строки матрицы переходов будут соответствовать уровням до новой раздачи, начиная с уровня 0 в верхней строке. Столбцы будут соответствовать уровням после новой раздачи, начиная с уровня 0 в левом столбце. Числа в матрице будут соответствовать вероятностям перехода из каждого старого состояния в каждое новое состояние в одной игре. Назовем это T1 =

Если мы умножим эту матрицу переходов саму на себя, то получим вероятности каждого изменения состояния в двух последовательных играх. Назовем это T2, так будет обозначать матрицу переходов за две игры:

Кстати, в Excel для умножения двух матриц одинакового размера сначала выделите область, куда вы хотите поместить новую матрицу. Затем используйте формулу =MMULT(диапазон матрицы 1, диапазон матрицы 2). После этого нажмите Ctrl+Shift+Enter.

Если мы умножим T2 само на себя, то получим вероятности каждого изменения состояния в четырех последовательных играх, или T4:

Повторяйте этот процесс удвоения 24 раза, пока не получите T-16,777,216:

Если мы удвоим еще раз, то превысим нашу цель в 24 995 500. Поэтому теперь нам нужно тщательно умножить на меньшие матрицы переходов, которые мы уже рассчитали. Любое число можно получить, используя степени двойки (прелести двоичной арифметики!). В данном случае T-24 995 500 = T-16 777 216 × T-2 ²² × T-2 ²¹ × T-2 ²⁰ × T-2 ¹⁹ × T-2 ¹⁸ × T-2 ¹⁶ × T-2 ¹⁴ × T-2 ¹³ × T-2 ¹⁰ × T-2 ⁷ × T-2 ⁵ × T-2 ⁴ × T-2 ³ =

Честно говоря, ради простоты и экономии времени, вам не стоит заморачиваться с этими последними четырьмя умножениями. Они относятся только к последним 56 раздачам, и вероятность того, что эти 56 повлияют на конечный результат, ничтожно мала. Уверен, мои многочисленные читатели-перфекционисты отшлёпали бы меня за эти слова, если бы могли.

Шаг 4: Умножьте начальное состояние после 5000 раздач на T-24 995 500. Пусть S-0 из шага 1 будет следующим:

Таким образом, S-0 × T-24 995 500 =

Число в нижней ячейке — это вероятность того, что хотя бы раз за 25 000 000 раздач выпала шестая королевская карта. Таким образом, вероятность составляет 1 к 7336.

Выражаю благодарность CrystalMath за помощь в решении этого вопроса.