Спросите Волшебника #278

Для точек от 4 до 6: ((7-p)/(5+p))*(1/(1+o))

Для баллов от 8 до 10: ((p-7)/(19-p))*(1/(1+o))

Этот вопрос был поднят и обсужден на форуме моего дочернего сайта Wizard of Vegas .

Вероятность совершения хотя бы одного сейфти за игру составляет 5,77%, исходя из исторического опыта.

Ожидаемое количество сейфти за игру составит -ln(1-0.0577) = 0.0594.

Ожидаемое количество очков за квартал на команду составит 0,0594/8 = 0,0074.

Вероятность того, что одна и та же команда совершит ровно два сейфти за одну четверть, составит e ^-0,0074 ×0,0074 ² /факт(2) = 1 из 36 505.

В сезоне НФЛ 267 игр и 267 × 8 = 2136 четвертей между командами. Таким образом, по моим оценкам, это будет происходить в среднем раз в 36 505 / 2136 = 17,1 лет.

Это следует рассматривать лишь как приблизительную оценку. В целях упрощения я не учитываю некоторые факторы, влияющие на исход игры.

Действительность броска зависит от места. В правилах штата Нью-Джерси, касающихся азартных игр, в пункте 19:47-1.9(a) говорится:

Бросок игральных костей считается недействительным, если одна или обе кости выпадают за пределы стола или если одна кость оказывается поверх другой. -- NJ 19:47-1.9(a)

В Пенсильвании действует точно такое же положение, Раздел 537.9(a) :

Бросок игральных костей считается недействительным, если одна или обе кости выпадают за пределы стола или если одна кость оказывается поверх другой. -- PA 537.9(a)

Я спросил дилера по игре в кости в Лас-Вегасе, и он сказал, что здесь это будет считаться действительным броском, если в остальном это правильный бросок. Хотя он никогда не видел, чтобы такое случалось, он сказал, что если бы это произошло, дилеры просто передвинули бы верхнюю кость, чтобы посмотреть, на какое число выпало нижнее число. Однако результат броска нижнего кубика можно определить, не прикасаясь к верхнему и не глядя на него. Вот как это сделать. Во-первых, посмотрев на четыре грани, можно сузить круг возможных вариантов до двух. Вот как это определить, исходя из этих трех вариантов.

• 1 или 6: Ищите цифру 3. Если верхняя точка граничит с 5, то 1 находится сверху. В противном случае, если она граничит с 2, то 6 находится сверху.
• 2 или 5: Ищите цифру 3. Если верхняя точка граничит с 6, то 2 находится сверху. В противном случае, если она граничит с 1, то 5 находится сверху.
• 3 или 4: Ищите цифру 2. Если верхняя точка граничит с 6, то 3 находится сверху. В противном случае, если она граничит с 1, то 4 находится сверху.

Этот вопрос был поднят и обсужден на форуме моего дочернего сайта Wizard of Vegas .

Этот вопрос был задан на сайте TwoPlusTwo.com, и на него правильно ответил BruceZ . Следующее решение использует тот же метод, что и BruceZ, который заслуживает должного признания. Это сложный ответ, поэтому будьте внимательны.

1. Для начала рассмотрим ожидаемое количество бросков, необходимых для получения в сумме двух чисел. Вероятность выпадения двойки составляет 1/36, поэтому в среднем потребуется 36 бросков, чтобы получить первую двойку.

2. Далее рассмотрим ожидаемое количество бросков, необходимых для получения двойки и тройки. Мы уже знаем, что в среднем потребуется 36 бросков, чтобы получить двойку. Если тройка выпадает во время ожидания двойки, то дополнительных бросков для тройки не потребуется. Однако, если нет, то для получения тройки придется бросить больше кубиков.

   Вероятность выпадения тройки составляет 1/18, поэтому в среднем потребуется 18 дополнительных бросков, чтобы получить тройку, если сначала выпадет двойка. Учитывая, что существует 1 способ выбросить двойку и 2 способа выбросить тройку, вероятность того, что сначала выпадет двойка, составляет 1/(1+2) = 1/3.

   Таким образом, существует вероятность 1/3, что нам потребуется еще 18 бросков, чтобы получить тройку. Следовательно, ожидаемое количество бросков, чтобы получить и двойку, и тройку, составляет 36 + (1/3) × 18 = 42.

3. Далее, подумайте, сколько еще бросков вам понадобится, чтобы получить четверку. К тому моменту, когда вы выбросите двойку и тройку, если вы еще не получили четверку, вам придется бросить кубики в среднем еще 12 раз, чтобы получить ее. Это потому, что вероятность выпадения четверки составляет 1/12.

   Какова вероятность получить четверку раньше, чем двойку и тройку? Для начала давайте вспомним распространенное правило вероятности для случаев, когда A и B не являются взаимоисключающими:

   пр(А или В) = пр(А) + пр(В) - пр(А и В)

   Вы вычитаете pr(A и B), потому что эта случайная величина учитывается дважды в pr(A) + pr(B). Таким образом,

   pr(4 перед 2 или 3) = pr(4 перед 2) + pr(4 перед 3) - pr(4 перед 2 и 3) = (3/4)+(3/5)-(3/6) = 0,85.

   Вероятность того, что на пути к двойке и тройке не выпадет четверка, составляет 1,0 - 0,85 = 0,15. Таким образом, существует 15% вероятность того, что потребуется еще 12 бросков. Следовательно, ожидаемое количество бросков для получения двойки, тройки и четверки составляет 42 + 0,15 * 12 = 43,8.

4. Далее, подумайте, сколько еще бросков вам понадобится, чтобы получить пятерку. К тому моменту, когда вы выбросите от двойки до четырех, если пятерка еще не выпала, вам придется бросить кубики в среднем еще 9 раз, чтобы получить ее, потому что вероятность выпадения пятерки составляет 4/36 = 1/9.

   Какова вероятность получить пятерку раньше, чем двойку, тройку или четверку? Общее правило таково:

   pr (A или B или C) = pr(A) + pr(B) + pr(C) - pr(A и B) - pr(A и C) - pr(B и C) + pr(A и B и C)

   Итак, pr(5 до 2, 3 или 4) = pr(5 до 2)+pr(5 до 3)+pr(5 до 4)-pr(5 до 2 и 3)-pr(5 до 2 и 4)-pr(5 до 3 и 4)+pr(5 до 2, 3 и 4) = (4/5)+(4/6)+(4/7)-(4/7)-(4/8)-(4/9)+(4/10) = 83/90. Вероятность не получить четверку на пути к двойке или четверке составляет 1 - 83/90 = 7/90. Таким образом, существует 7,78% вероятность того, что потребуется 7,2 дополнительных броска. Следовательно, ожидаемое количество бросков для получения двойки, тройки, четверки и пятерки составляет 43,8 + (7/90)*9 = 44,5.

5. Продолжайте следовать той же логике, доведя общее число до шести-двенадцати. Количество вычислений, необходимых для определения вероятности получения следующего числа до того, как оно выпадет, будет зависеть от того, насколько примерно удваивается каждое последнее число. К тому моменту, когда вы дойдете до двенадцати, вам придется выполнить 1023 вычисления.

   Вот общее правило для pr(A или B или C или ... или Z)

   pr(A или B или C или ... или Z) =
   pr(A) + pr(B) + ... + pr(Z)
   - pr (A и B) - pr (A и C) - ... - pr (Y и Z) Вычтите вероятность каждой комбинации двух событий
   + pr (A и B и C) + pr(A и B и D) + ... + pr(X и Y и Z) Сложите вероятности каждой комбинации из трех событий
   - pr (A и B и C и D) - pr (A и B и C и E) - ... - pr (W и X и Y и Z) Вычтите вероятность каждой комбинации из четырех событий

   Затем повторяйте эти действия, не забывая добавлять вероятности для нечетного числа событий и вычитать вероятности для четного числа событий. Очевидно, что при большом количестве возможных событий это становится утомительным, и на практике для этого требуется электронная таблица или компьютерная программа.

В следующей таблице показано ожидаемое количество бросков для каждого этапа. Например, 36 для получения двойки, 42 для получения двойки и тройки. В нижней правой ячейке указано ожидаемое количество бросков для получения всех 11 сумм, равное 61,217385.

Этот вопрос был поднят и обсужден на форуме моего дочернего сайта Wizard of Vegas .