Спросите Волшебника #319

В следующей таблице представлены коэффициенты ставокVegas Insider на обе команды в каждой игре. В столбце с коэффициентом ставок на выездную игру коэффициент делится пополам между двумя командами. В столбце «Вероятность» показана вероятность того, что гостевая команда приедет в гости, исходя из коэффициента ставок.

Если взять произведение вероятности победы гостевой команды в каждой игре, получим 0,00422, что округляется до 1 к 237.

Ставка Мартингейла на победу домашней команды с коэффициентом 100 привела бы к убытку в размере 28 081,06 долларов.

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

Сначала я расскажу о количестве перестановок. Это означает, что важны не только числа, но и их порядок на карточке. Для столбцов B, I, G и O существует permut(15,5) = 15!/(15-5)! = 15*14*13*12*11 = 360 360 возможных перестановок. Для столбца N количество перестановок равно permut(14,4) = 15!/(15-4)! = 15*14*13*12 = 32 760. Таким образом, общее количество перестановок бинго-карточек составляет 360 360 ⁴ × 32 760 = 552446474061128648601600000.

Во-вторых, я расскажу о количестве комбинаций. Это означает, что важны числа, но не их порядок на карточке. Для столбцов B, I, G и O существует комбинаций combin(15,5) = 15!/(5!*(15-5)!) = (15*14*13*12*11)/(1*2*3*4*5) = 3003 возможных комбинаций. Для столбца N количество перестановок составляет combin(14,4) = 15!/(4!*(15-4)!) = (15*14*13*12)/(1*2*3*4) = 1365. Таким образом, общее количество перестановок карточек бинго составляет 3003 ⁴ × 1365 = 111007923832370565.

В передаче Шелдон задается вопросом, сколько существует УНИКАЛЬНЫХ бинго-карточек. Судя по последующим неверным формулам, я предполагаю, что он имеет в виду перестановки. Другими словами, две карточки с одинаковыми числами, но в разных позициях, будут уникальными.

На изображении выше показана формула Шелдона для столбцов B, I, G и O. Изначально он правильно вычисляет формулу: 5! × combin(15,5). Однако он ошибочно упрощает её до 15!/(15!-5)!. Второго восклицательного знака там быть не должно. Должно быть 15!/(15-10)!. Тем не менее, затем он возвращается к правильному ответу: 360,360.

У нас точно такая же проблема со столбцом N. Формула должна быть 15!/(15-4)!, а не 15!/(15!-4)!. Второй восклицательный знак всё портит.

Ирония заключается в том, что позже в эпизоде Шелдон становится одержим ошибками в хронологии «Властелина колец», точно так же, как и я одержим этим.

Для начала определим количество комбинаций карт игрока и игрового поля, при которых это может произойти. Очевидно, что существует четыре масти. Тогда существует combin(13,4)=715 способов выбрать четыре из 13 карт данной масти.

Во-вторых, это может произойти, если на доске находятся три карты одной масти, а две другие — среди остальных 39 карт. Существует 84 комбинации (9,3) = 84 способа, которыми на доске могут оказаться три из оставшихся 9 карт выбранной масти. Затем существует 741 комбинация (39,2) = 741 способ выбрать еще две карты из остальных 39 карт трех других мастей. Таким образом, существует 84*741 = 62244 способа, при которых на доске находятся три карты нужной масти.

В-третьих, еще один способ, как это может произойти, — это когда у игроков на столе лежат четыре карты одной масти, а вторая — среди остальных 39 карт. Существует 126 комбинаций (9,4) = 126 способов, которыми на столе могут оказаться четыре из 9 оставшихся карт выбранной масти. Затем есть 39 способов выбрать еще одну карту из остальных 39 карт трех других мастей. Однако не все из этих комбинаций приведут к тому, что оба игрока используют обе закрытые карты. Для выполнения этого условия на столе должна находиться младшая карта рассматриваемой масти. Вероятность этого из 8 карт этой масти, находящихся в игре, составляет 4/8 = 1/2. Таким образом, существует 126*39*(1/2) = 2457 способов, как на столе окажутся четыре карты рассматриваемой масти.

В-четвертых, последний способ, которым это может произойти, — это когда на столе лежат пять карт одной масти. Существует 126 комбинаций (9,5) = 126 способов, которыми на столе могут оказаться пять из 9 оставшихся карт выбранной масти. Однако не все из них приведут к тому, что оба игрока используют обе свои закрытые карты. Для выполнения этого условия на столе должны находиться две младшие карты рассматриваемой масти. Вероятность этого из 9 карт этой масти, находящихся в игре, составляет 10/36 = 5/18. Таким образом, существует 126*(5/18) = 35 способов, которыми на столе оказываются четыре карты рассматриваемой масти.

Таким образом, количество комбинаций, в которых это произойдет, составляет 715*(62244 + 2457 + 35) = 46286240.

Общее количество комбинаций способов выбрать четыре карты из 52, оставшихся на столе, и еще 5 из 48, равно combin(52,4)*combin(48,5) = 463 563 500 400.

Таким образом, вероятность составляет 46 286 240 / 463 563 500 400 = 0,000399395 = 1 к 2504.

Этот вопрос был задан и обсуждался на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

Для анализа такой ставки я бы сначала оценил количество очков, которое наберет каждая команда. Я делаю это, используя простую алгебру с учетом разницы в очках и тотала. Например, рассмотрим первую игру между «Бенгалс» и «Рейвенс». «Рейвенс» являются фаворитами с преимуществом в 12 очков, а тотал равен 48. Пусть:

b = количество очков, набранных командой «Бенгалс»
r = количество очков, набранных командой «Рейвенс»

b+12=r
b+r=48

Чтобы переформулировать первое уравнение: b - 4 = -12. Затем прибавим к этому b + r = 48, получим 2b = 36, следовательно, b = 18. Если ожидается, что «Бенгалс» наберут 18 очков, то ожидается, что «Рейвенс» наберут 18 + 12 = 30.

После того, как мы оценим общее количество очков, мы можем перейти к оценке количества тачдаунов. Я делаю это, вычитая шесть очков за филд-гол у каждой команды, а затем деля оставшееся количество на 7.

Ожидается, что все эти команды забьют 29,57 тачдаунов. Затем разделите предполагаемое количество тачдаунов для каждой команды на это общее число. Это даст приблизительную вероятность того, что эта команда забьет первый тачдаун. Затем определите ожидаемое значение, исходя из этой вероятности и размера выигрыша по ставке.

Как видно из таблицы, я вижу положительное ожидаемое значение только для двух команд. У «Редскинс» (да, я их так называю) преимущество в 0,48%, а у «Бенгалс» — в 21,7%. Преимущество «Редскинс» слишком мало, но я бы определенно поставил на «Бенгалс».

P.S. В тот день "Бенгалс" действительно забили первый тачдаун!

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .