Спросите Волшебника #320

Сначала нам нужно найти вероятность выигрыша для любой конкретной раздачи, которая будет зависеть от правил, не указанных в вашем первоначальном вопросе. На моей странице о дисперсии в блэкджеке я привожу вероятность чистого выигрыша, ничьей и проигрыша при «либеральных правилах Стрипа», которые следующие: шесть колод, выплата за блэкджек 3 к 2, дилер останавливается при мягкой 17, удвоение ставки после разделения разрешено, сдача разрешена, повторное разделение тузов разрешено. При этих правилах необходимые вероятности следующие:

• Победа: 42,43%
• Push: 8,48%
• Убыток: 49,09%

В вашем вопросе также не указано, как учитывать ничьи. Я предположу, что ничья считается сыгранной раздачей, но не продвигает счет и не обнуляет серию проигрышей. Без учета ничьих, вероятность выигрыша и проигрыша при условии завершенной ставки составляет:

• Победа: 46,36%
• Убыток: 53,64%

Тем не менее, очень хорошим приближением для подобных вопросов является следующее:

n × l × w ^m

Где:
n = количество сыгранных раздач
l = вероятность проигрыша
w = вероятность выигрыша
m = минимальное количество раздач в проигрышной серии

В этом случае ожидаемое количество проигрышей составляет 100000 × 46,36% × 63,64% ¹⁰ = 91,4. Другими словами, в среднем, серия проигрышей, составляющая не менее 10 раздач, будет наблюдаться каждые 1094 раздачи. Случайное моделирование подтверждает это.

На данном этапе я уверен, что мои читатели-перфекционисты готовятся написать мне электронные письма с интеллектуальной критикой цепей Маркова . Хочу подчеркнуть, что моя формула — это ПРИБЛИЗИТЕЛЬНАЯ оценка, и, на самом деле, довольно хорошая.

Начнём с определения нескольких переменных:

• s = кг соли в резервуаре
• t = количество минут с момента добавления соли в резервуар

Нам известно, что за минуту сливается 10% соли. Если выразить это математически:

ds/dt = (-10/100) × s

Давайте перегруппируем это следующим образом:

ds = (-10/100) × s dt

-10/с ds = dt

Интеграция обеих сторон:

(1) -10×ln(s) = t + c

Далее найдем страшную константу интегрирования. Для этого нам дано, что s = 10 при t = 0. Подставив это в формулу (1) выше, получим:

-10 × ln(10) = 0 + c

Итак, c = -10×ln(10)

Подставив это в уравнение (1), получаем:

(2) -10×ln(s) = t -10×ln(10)

Вопрос в том, сколько соли будет в резервуаре в момент времени t=30. Решая уравнение относительно s при t=30:

-10×ln(s) = 30 -10×ln(10). Затем разделим обе стороны на -10...

ln(s) = -3 + ln(10)

s = exp(-3 + ln(10))

s = exp(-3) × exp(ln(10))

s = exp(-3) × 10

s =~ 0,4979 кг соли.

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

Математика никогда не лжет. Согласно моему приложению 1 к правилам блэкджека , вот ожидаемые значения для всех четырех способов игры: A, A против 10, при условии бесконечных колод, дилер останавливается при мягкой 17 и запрете повторного разделения тузов.

• Stand = -0.540430
• Попадание = -0.070002
• Double = -0.514028
• Разделение = 0,179689

  Таким образом, в этой ситуации разница огромна: разделение тузов выгоднее примерно на 11% от первоначальной ставки. Если бы было разрешено повторное разделение тузов, выгода была бы еще больше.

Для начала найдем вероятность того, что для любого заданного игрового числа ровно 3 из 5 дней совпадут с одним и тем же числом. Ответ: COMBIN(5,3)*(1/80)^2*(79/80)^2 = 0,001523682. Это количество способов выбрать 3 совпадающих дня из 5, умноженное на вероятность того, что второй и третий день совпадут с первым, умноженное на вероятность того, что два других дня не совпадут.

Таким образом, вероятность того, что в течение 3 из 5 дней не будет ни одного матча с заданным номером, составляет 1 - 0,001523682 = 0,9984763.

Вероятность того, что это не произойдет в течение 300 дней, составляет 0,9984763 ³⁰⁰ = 63,29%.

Таким образом, вероятность альтернативного варианта, то есть того, что хотя бы один номер в розыгрыше совпадает с номером в «Мятежном глазе» в 3 из 5 дней, составляет 36,71%.

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .