WOO logo

Wizard рекомендует

Спросите Волшебника #324

В среднем, сколько бросков честной игральной кости необходимо, чтобы каждая грань выпала как минимум дважды?

Ace2

Нажмите на кнопку ниже, чтобы увидеть ответ.

Ответ: 1 172 906 043 / 48 600 000 = приблизительно 24,13387

Вот моё решение . (PDF)

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

Имеется квадратная мишень для дартса размером 1 на 1. В нее бросают дротик так, что он может попасть в любую точку с равной вероятностью. Пусть координаты точки попадания будут (x,y), где x и y равномерно и независимо распределены от 0 до 1.

Пусть z = round(x/y). Другими словами, z = x/y, округленное до ближайшего целого числа. Какова вероятность того, что z — четное число?

анонимный

Знание бесконечных рядов окажется очень полезным в следующей подсказке.

[спойлер=Подсказка]

Формула Лейбница для числа π гласит:

1/1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + ... = π/4

[/спойлер]

Чтобы получить ответ, нажмите следующую кнопку.

[spoiler=Ответ](5 - π)/4 = апкс. 0,464601836602552. [/спойлер]

Нажмите на кнопку ниже, чтобы получить решение.

[spoiler=Решение]

Если x/y < 0,5, то отношение округлит n до 0, четного числа. Любая точка на мишени слева от линии, образованной точками (0,0) и (0,5), будет округлена до 0. Эта область представляет собой прямоугольный треугольник со стороной 1 и 1/2. Помните, что площадь треугольника равна (1/2) * основание * высота. Таким образом, площадь этих точек, округленная до 0, равна (1/2) * (1/2) = 1/4.

Следующая область на графике, которая округляется до следующего четного числа, 2, находится в точке, где 1,5 < x/y < 2,5. Эта область будет представлять собой треугольник с основанием 2/3 - 2/5 и высотой 1. Обратите внимание, что это обратные значения границ x/y, поскольку x равно 1, поэтому нам нужно инвертировать y. Таким образом, область, которая округляется до 2, равна (1/2)*(2/3 - 2/5).

Следующая область на графике, которая округляется до следующего четного числа, 4, находится в точке, где 3,5 < x/y < 4,5. Эта область будет представлять собой треугольник с основанием 2/7 - 2/9 и высотой 1. Таким образом, площадь, которая округляется до 2, равна (1/2)*(2/7 - 2/9).

Следующая область на графике, которая округляется до следующего четного числа, 6, находится в точке, где 5,5 < x/y < 6,5. Эта область будет представлять собой треугольник с основанием 2/11 - 2/13 и высотой 1. Таким образом, площадь, которая округляется до 2, равна (1/2)*(2/11 - 2/13).

Начинаете замечать закономерность? Вот как это выглядит:

1/4 + 1/2*(2/3 - 2/5 + 2/7 - 2/9 + 2/11 - 2/13 + ... ) =

1/4 + (1/3 - 1/5 + 1/7 - 1/9 + 1/11 - 1/13 + ... ) =

Давайте перенесём -1 внутрь этих скобок.

5/4 + (-1 + 1/3 - 1/5 + 1/7 - 1/9 + 1/11 - 1/13 + ... ) =

5/4 - (1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + 1/13 + ... ) =

Далее, вспомните нашу подсказку выше:

1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11

Возвращаясь к рассматриваемому вопросу...

5/4 - π/4 =

(5 - π)/4 = прибл. 0,464601836602552.

Интересно, как числа π и e постоянно встречаются в математике.

[/спойлер]

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

Пусть 9x + 12x = 16x

Чему равно x?

анонимный

Нажмите на кнопку ниже, чтобы увидеть ответ.

x = [ln(1 + sqrt(5)) - ln(2)] / [ln(4) - ln(3) ] = приблизительно 1.67272093446233.

Нажмите на кнопку ниже, чтобы получить решение.

9x + 12x = 16x =

Разделите обе стороны на 9 x

1 + (12/9) x = (16/9) x

1 + (4/3) x = ((4/3) x ) 2

(1) Пусть u = (4/3) x

1 + u = u 2

По квадратной формуле...

u = (1+sqrt(5)) / 2 (Золотое сечение)

Подставим это обратно в уравнение (1):

(4/3) x = (1+sqrt(5)) / 2

Возьмите логарифм обеих сторон:

x ln(4/3) = ln[(1+sqrt(5)) / 2]

x = ln[(1+sqrt(5)) / 2] / ln(4/3)

x = [ln(1+sqrt(5) - ln(2)] / [ln(4) - ln(3)] = приблизительно 1.67272093446233.

Этот вопрос поднимается и обсуждается на моём форуме в Wizard of Vegas .

Благодарность: Вариант этой задачи я позаимствовал у Преша Талвалкара из Mind Your Decisions .

Предположим, что бросают честную шестигранную игральную кость до тех пор, пока не выпадет 1, 2, 3 или 6. Если первым выпадает 1, 2 или 3 из этих чисел, определяющих исход игры, то вы ничего не выигрываете. Если первым выпадает 6 из этих чисел, определяющих исход игры, то вы выигрываете 1 доллар за каждый бросок кости. Каков средний выигрыш в этой игре?

Klopp

Нажмите на кнопку ниже, чтобы получить несколько формул бесконечных рядов, которые могут вам пригодиться.

[спойлер=Подсказки]

Подсказка 1: Сумма чисел n от i = 0 до ∞ равна i = 1 / (1-n)

Подсказка 2: Сумма i × n для i от 0 до ∞ равна i = n / (1-n) ²

[/спойлер]

Нажмите на кнопку ниже, чтобы увидеть ответ.

Ответ - 3/4.

Нажмите на кнопку ниже, чтобы получить решение.

[spoiler=Решение]

Предположим, что бросают честную шестигранную игральную кость до тех пор, пока не выпадет 1, 2, 3 или 6. Если первым выпадает 1, 2 или 3 из этих чисел, определяющих исход игры, то вы ничего не выигрываете. Если первым выпадает 6 из этих чисел, определяющих исход игры, то вы выигрываете 1 доллар за каждый бросок кости. Каков средний выигрыш в этой игре?

Подсказка 1: Сумма чисел n от i = 0 до ∞ равна i = 1 / (1-n)

Подсказка 2: Сумма i × n для i от 0 до ∞ равна i = n / (1-n) ²

Ожидаемый выигрыш можно выразить как сумму для i от 0 до ∞ (1 + i) * (1/3) i * (1/6). =

(1/6) * сумма для i от 0 до ∞ от (1/3) i + (1/6) * сумма для i от 0 до ∞ от (i * (1/3) i ).

Давайте рассмотрим их по очереди.

сумма для i от 0 до ∞ (1/3) i =

1 / (1 - (1/3)) =

1 / (2/3) =

3/2

Сумма для i от 0 до ∞ (i * (1/3) i ) =

(1/3) / (1 - (1/3)) 2 =

(1/3) / (4/9) =

(1/3) * (9/4) =

3/4

Если всё это сложить воедино, ответ таков:

(1/6) * (3/2) + (1/6)*(3/4) =

(1/4) + (1/8) =

3/8

[/спойлер]

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .