Спросите Волшебника #325

[spoiler=Решение]

Фермер сажает 5 яблочных семян. Каждый день у каждого семени есть 1/3 шанс прорасти. Каково среднее время, необходимое для прорастания всех пяти деревьев?

Давайте рассчитаем в обратном порядке. Если осталось одно непроросшее семя, то в среднем ему потребуется 1/p дней, чтобы прорасти, где p — вероятность прорастания в любой данный день. Поскольку p = 1/3, в среднем ему потребуется 3 дня, чтобы прорасти. Назовем это _t1 = 3.

Что если осталось два семени? Вероятность того, что оба прорастут на следующий день, составляет ^ap² = 1/9, и на этом всё. Вероятность того, что прорастет хотя бы одно семя на следующий день, равна 2×p×q, где q — вероятность того, что семя не прорастет. Таким образом, вероятность прорастания одного семени равна 2×(1/3)(2/3) = 4/9. Вероятность того, что ни одно семя не прорастет, равна ^q² = (2/3) ^² = 4/9. Назовем ожидаемое количество дней с двумя семяпроцветающими _t² .

t ₂ = 1 + (4/9)×t ₁ + (4/9)t ₂

t ₂ = (1 - (4/9)) = 1 + (4/9)×t ₁

t ₂ = (1 + (4/9)×3) / (1 - (4/9))

t ₂ = (21/9) / (5/9)

t ₂ = (21/9) × (9/5) = 21/5 = 4,2

Что если осталось три семени? Вероятность того, что все они прорастут на следующий день, составляет 3 × p × ^q² = 3 × (1/3)(2/3) ^² = 12/27. Вероятность того, что на следующий день прорастут два семени, составляет 3 × ^p² × q = 3 × (1/3) ^² × (2/3) = 6/27. Вероятность того, что ни одно семя не прорастет ^{, составляет q³ = (2/3)³ = 8/27} . Назовем ожидаемое количество дней с тремя семенами _t³ .

t ₃ = 1 + (6/27)t ₁ + (12/27)×t ₂ + (8/27)×t ₃

t ₃ = 1 + (6/27)×3 + (12/27)×4.2 + (8/27)×t ₃

t ₃ × (1 - 8/27) = (1 + 18/27 + 28/15)

t ₃ = (1 + 18/27 + 28/15) / (1 - 8/27) = 477/95 = приблизительно 5,02105263

Что если осталось четыре семени? Вероятность того, что все четыре прорастут на следующий день, составляет 4 × p × ^q³ = 4 × (1/3)(2/3) ^³ = 32/81. Вероятность того, что два семени прорастут на следующий день, составляет 24/81. Вероятность того, что три семени прорастут на следующий день ^, составляет 4 × ^p² × ^q² = 6 × (1/3) ^² × (2/3) ^² = 24/81. Вероятность того, что три семени прорастут на следующий день, составляет 4 × ^p³ × q³ = 4 × (1/3) ^³ × (2/3) = 8/81. Вероятность того, что ни одно семя не прорастет, составляет ^q⁴ = (2/3) ^⁴ = 16/81. Назовем ожидаемое количество дней с тремя семенами _t⁴ .

t ₄ = 1 + (8/81)×t ₁ + (24/81)×t ₂ + (32/81)×t ₃ + (16/81)×t ₄

t ₄ = 1 + (8/81)×3 + (24/81)×4.2 + (32/81)×5.02105263 + (16/81)×t ₄

t ₄ = (1 + (8/81)×3 + (24/81)×4.2 + (32/81)×5.02105263) / (1 - (16/81))

t ₄ = приблизительно 5.638056680161943319838056680.

Что если останутся все пять семян? Вероятность того, что все 5 прорастут на следующий день, составляет ^1/243 , и на этом всё. Вероятность того, что на следующий день прорастет одно семя, равна 5×p× ^q⁴ = 5×(1/3)(2/3) ^⁴ = 80/243. Вероятность того, что на следующий день прорастут два семени, равна combin(5,2)× ^p² × ^q³ = 10×(1/3) ^² ×(2/3) ^³ = 80/243. Вероятность того, что на следующий день прорастут три семени, равна combin(5,3)× ^p³ ×q = 10×(1/3) ^³ ×(2/3) ^² = 40/243. Вероятность того, что четыре семени прорастут на следующий день, равна combin(5,4)×p ⁴ ×q = 5×(1/3) ⁴ ×(2/3) = 10/243. Вероятность того, что ни одно семя не прорастет, равна q ⁵ = (2/3) ⁵ = 32/243. Назовем ожидаемое количество дней с тремя семенами t ₅ .

t ₅ = 1 + (10/243)×t ₁ + (40/243)×t ₂ + (80/81)×t ₃ + (80/243)×t ₄ + (32/243)×t ₅

t ₅ = (1 + (10/243)×t ₁ + (40/243)×t ₂ + (80/81)×t ₃ + (80/243)×t ₄ ) / (1 - (32/243))

t ₅ = (1 + (10/243)×3 + (40/243)×4.2 + (80/243)×(477/95) + (80/243)×5.63805668) / (1 - (32/243))

t ₅ = приблизительно 6.131415853.

Эта задача адаптирована из аналогичной задачи Преша Талвалкара из Mind Your Decisions .

[спойлер=Ответ]

1. Какова минимальная необходимая длина веревки? Ответ: sqrt(2)*4 = приблизительно 5,6569.
2. Предположим, используется минимальное расстояние. Насколько близко любая точка на веревке окажется к ее концу? Ответ: 2*sqrt(2) = приблизительно 2,828427125.

[spoiler=Решение]

Предположим, что дно вигвама — это голая земля. Другими словами, вигвам состоит только из стен, а не из основания. Поскольку радиус равен 1, диаметр основания вигвама равен 2π.

Отрежьте кусок материала от основания до кончика и разложите его ровно.

Изогнутая часть этого среза по-прежнему будет равна 2*π. Поскольку наклонная высота составляла 4, если бы этот срез был продлен до полного круга, радиус был бы равен 8*π. Таким образом, этот срез составляет 1/4 круга.

Длина сторон треугольника равна 4, а угол между ними — 90 градусов. Длина гипотенузы треугольника, соединяющего три точки, составляет √2 * 4 = приблизительно 5,6569. Если бы вы собрали вигвам заново, это расстояние было бы длиной веревки.

Снова положив срез на ровный стол и используя формулу Пифагора, легко увидеть, что ближайшая точка от гипотенузы до вершины вигвама — это 2*sqrt(2) = приблизительно 2,828427125.

Этот вопрос поднимается и обсуждается на моём форуме в Wizard of Vegas .

Вероятность того, что пара улучшится до четырех одинаковых карт, составляет 45/COMBIN(47,3) = приблизительно 0,002775208.

Вероятность того, что это произойдет в десяти случаях из десяти, составляет (0,002775208) ^·10 = приблизительно 1 к 36 901 531 632 979 700 000 000 000.

Вероятность выигрыша сравнима с покупкой трех независимых и случайных лотерейных билетов Powerball и выигрышем по всем трем из них.

Объяснение заключается в том, что это НЕ обычная игра в видеопокер с естественными вероятностями, в которой каждая карта имеет равные шансы быть вытянутой из оставшихся карт в колоде. Нет, это то, что называется «VLT», или видеолотерейный терминал. В таких играх исход предопределен, независимо от того, как игрок оплачивает свою руку. Это похоже на лотерейный билет, но результат отображается игроку как в игре в видеопокер. Вы можете спросить, что произойдет, если у игрока окажутся все пять карт. Тогда придет джинн и подменит некоторые карты, или игрок выиграет бонус, чтобы получить окончательный выигрыш в 2500 кредитов.

Этот вопрос поднимается и обсуждается на моём форуме в Wizard of Vegas .