Спросите Волшебника #331

Нажмите на кнопку ниже, чтобы увидеть ответ.

Вот моё решение (PDF).

Эта проблема была задана и обсуждалась на моём форуме в Wizard of Vegas .

Она была адаптирована из головоломки « Сможете ли вы присоединиться к крупнейшему в мире видеозвонку в Zoom?» на сайте FiveThirtyEight.

Крайне маловероятно найти игру в блэкджек, в которой допускается разделение тузов, получение пары тузов и последующее достижение лимита разделения. Тем не менее, я стараюсь рассмотреть самые нестандартные ситуации и признаю, что мои базовые стратегические таблицы на момент задавания этого вопроса не содержали информации о том, что делать в подобных случаях.

Ответ — ударить, но удвоить ставку, если:

• У дилера шесть карт в колоде (при любом количестве колод).
• У дилера пять автомобилей на пять мест с одной или двумя секциями.

Здесь представлено ожидаемое значение данной ситуации при различных подобных обстоятельствах.

Ожидаемые значения взяты из моего калькулятора комбинаций в блэкджеке .

Ответ таков: кандидат может получить всего 21,69% голосов избирателей и всё равно победить.

Для большей ясности, в следующей таблице показаны данные о численности населения и количестве голосов выборщиков по штатам. Данные о численности населения взяты по состоянию на 2019 год, а данные о количестве голосов выборщиков — по состоянию на 2010 год. Напоминаю читателям за пределами США, что каждый штат также получает дополнительные два голоса выборщиков. В результате штаты с небольшим населением оказывают гораздо большее влияние на выборы, чем штаты с большим населением. По состоянию на выборы 2020 года, избиратели в Вайоминге имеют почти в четыре раза большее влияние на президентские выборы, чем избиратели в Техасе.

Согласно правилам, кандидат мог бы получить 100% голосов в Техасе, Флориде, Калифорнии, Северной Каролине, Нью-Йорке, Джорджии, Аризоне, Вирджинии, Огайо, Пенсильвании, Нью-Джерси и Миссури, а также половину голосов (за вычетом одного) в каждом другом штате и обеспечить себе в общей сложности 257 085 170 голосов избирателей. В то же время другой кандидат получил бы только 71 215 374 голоса и победил бы, получив ровно необходимые 270 голосов выборщиков.

В следующей таблице приведена подробная информация. Показатели расположены в порядке убывания количества голосов выборщиков (от наименьшего к наибольшему).

Источники:

• Население по штатам (2019 г.)
• Голоса коллегии выборщиков по штатам (2010 г.)

Ответ: 219,149467.

Есть два способа решения этой задачи. Первый — с помощью цепи Маркова. В следующей таблице показаны ожидаемые значения, необходимые для любого из 128 возможных состояний.

Вкратце, ожидаемое количество бросков в любом заданном состоянии равно ожидаемому количеству бросков до момента выигрыша или проигрыша очка (5,063636) плюс ожидаемое количество бросков, если игрок переходит в следующее состояние, деленное на вероятность непрохождения в текущем состоянии.

Другой метод использует интегральное исчисление. Сначала вычисляем ожидаемые значения бросков для каждого возможного исхода. Затем берем скалярное произведение вероятности каждого события и средних значений бросков, чтобы получить средние значения бросков для разрешения ставки на линию «пас», которые, как показано в правом нижнем углу, составляют 3,375758 = 557/165.

Отсюда мы можем получить ожидаемые значения бросков кубиков, при которых любая заданная точка может выиграть:

• Количество бросков кубиков, при которых выигрыш составляет 4, равно (3/36)*(3/9)*5*(557/165) = 6684/55 = приблизительно 121,527273.
• Выпадение числа, близкого к 5, равно (4/36)*(4/10)*4,6*(557/165) = 1671/21 = приблизительно 75,954545.
• Выпадение числа, близкого к 6, в выигрышном случае = (5/36)*(5/11)*(47/11)*(557/165) = 6684/125 = приблизительно 53,472.

Ожидаемые результаты бросков для выигрыша в 10, 9 и 8 очков такие же, как и для 4, 5 и 6 очков соответственно.

Предположим, что вместо того, чтобы победа с результатом в 0,4 балла происходила дискретно, она подчиняется экспоненциальному распределению со средним значением 6684/55. Вероятность того, что такая случайная величина просуществует x единиц времени без события, равна exp(-x/(6684/55)) = exp(-55x/6684).

Вероятность того, что это произошло хотя бы один раз за x единиц времени, равна 1-exp(-55x/6684).

Если представить все шесть точек как непрерывные переменные, то вероятность того, что все шесть событий произошли в течение x единиц времени, равна (1-exp(-55x/6684))^2 * (1-exp(-22x/1671))^2 * (1-exp(-125x/6684))^2.

Вероятность того, что хотя бы одно из шести событий не произойдет в течение x единиц времени, равна 1 - (1-exp(-55x/6684))^2 * (1-exp(-22x/1671))^2 * (1-exp(-125x/6684))^2.

Мы можем получить ожидаемое время наступления всех шести событий, проинтегрировав приведенное выше выражение от 0 до бесконечности.

Использование этого калькулятора интегралов дает ответ 8706865474775503638338329687/39730260732259873692189000 = приблизительно 219,1494672902.

Почему это работает, объяснить сложнее, поэтому, пожалуйста, примите эту часть на веру.