Спросите Волшебника #332

Пусть a(x) = количество способов получить x центов, используя только пенни и никели, где x делится на 5.

a(x) = 1+(x/5)

Иными словами, количество способов равно количеству возможных пятицентовых монет в сдаче, которое будет варьироваться от 0 до x/5.

Пусть b(x) = количество способов получить x центов, используя только пенни, никели и десятицентовые монеты, где x делится на 5.

b(0)=1
b(5)=2
b(x) = a(x) + b(x-10), где x>=10.

Проще говоря, количество способов заработать x центов равно сумме (1) b(x-10) = количество способов заработать x-10 центов, добавив по десятицентовой монете к каждому способу, и (2) a(x) = количество способов заработать без десятицентовых монет.

Пусть c(x) = количество способов получить x центов, используя только пенни, никели, даймы и четвертаки, где x делится на 25.

c(0) = 1
c(x) = b(x) + c(x-25), где x>=25.

Проще говоря, количество способов заработать x центов равно сумме (1) c(x-25) = количество способов заработать x-25 центов, добавив к каждому способу четверть доллара, и (2) b(x) = количество способов заработать, не добавляя четверть доллара.

Пусть d(x) = количество способов получить x центов, используя только пенни, никели, даймы, четвертаки и полдоллара, где x делится на 50.

d(0) = 1
d(x) = c(x) + d(x-50), где x>=50.

Проще говоря, количество способов заработать x центов равно сумме (1) d(x-50) = количество способов заработать x-50 центов, добавив к каждому способу полдоллара, и (2) c(x) = количество способов заработать без добавления полдоллара.

Ниже приведена таблица, показывающая эти значения для x от 5 до 100.

Наконец, добавим единицу за монету в 1 доллар, и ответ будет 292 + 1 = 293.

Этот вопрос поднимается и обсуждается на моём форуме в Wizard of Vegas .

Можно ожидать, что количество раз, когда мяч приземлится в пределах от 1 до 12, составит 3000*(12/38) = 947,37.

Разница между вашими результатами и ожиданиями составляет 947,37 - 742 = 205,37.

Дисперсия равна 3000*(12/38)*(1-(12/38)) = 648,20.

Стандартное отклонение равно квадратному корню из дисперсии = sqrt(648,20) = 25,46.

Ваши результаты на 205,37/25,46 = 11,75 стандартных отклонений ниже ожидаемых.

Значение p, или вероятность отклонения на 11,75 стандартных отклонений или более, составляет 1 к 28 542 806 257 940 300 000 000 000 000 000.

Мне было бы интересно узнать, где находится колесо.

Давайте не будем разделять десятки, потому что даже с этим правилом игрок все равно должен оставаться на отметке 20 против любого очка.

Предположим, у нас шесть колод. Вероятность выпадения пары тузов равна combin(24,2)/combin(312,2) = 276/48,516 = 0,5689%.

Ожидаемое количество двух тузов, из которых сложится блэкджек, составляет 2*(16*6)/(312-2) = 0,619355.

Вероятность того, что у дилера нет блэкджека, составляет 1 - (16*6)*(4*6-2)/комбинация(52*6-2,2) = 95,590354%.

Вероятность того, что дилер наберет 21 очко, составляет 7,7981%. Математические расчеты слишком сложны для объяснения.

Вероятность того, что правило окажется полезным, составляет 0,5689% * 95,590354% * (1-7,7981%) = 0,3368044%.

Выгода за инцидент = Pr(дилер не набирает 21 балл) * (0,2) + Pr(дилер набирает 21 балл) * 1,2 = (1-0,122077839) * 0,2 + 0,122077839 * 1,2 = 0,3220778.

Общая выгода от правила равна произведению частоты возникновения ситуации и выгоды в каждом конкретном случае: 0,003368044 * 0,322077839 = 0,11%.

[спойлер=Ответ]

Кубик 1 = 1,2,2,3,3,4.
Кубик 2 = 1,3,4,5,6,8.

Боюсь, в этом случае мне пришлось действовать методом проб и ошибок.

Напомним, что ниже приведены упомянутые таблицы заработной платы:

Не такие уж и гадкие утки: 1-2-3-4-4-10-16-25-200-800.
Иллинойс Двойки: 1-2-3-4-4-9-15-25-200-800

Далее представлена таблица доходности игры Not so Ugly Ducks, рассчитанная на основе оптимальной стратегии для этой игры.

Далее представлена таблица доходности для команды Illinois Deuces, рассчитанная с использованием правильной стратегии для данной таблицы выплат. В нижней правой ячейке показана доходность 0,989131.

В следующей таблице показана доходность, рассчитанная с использованием комбинаций и вероятностей из игры Not so Ugly Ducks в таблице выплат для ставки Illinois Deuces. В нижней правой ячейке показана доходность 0,989131.

Стоимость ошибок равна оптимальной доходности для команды Illinois Deuces (вторая таблица) за вычетом доходности для команды Illinois Deuces, использующей стратегию NSUD (третья таблица) = 0,989131 - 0,989038 = 0,000093.