WOO logo

Wizard рекомендует

Спросите Волшебника #333

Имеется бесконечное количество лампочек, все они выключены. Время между включением лампочек подчиняется экспоненциальному распределению* со средним значением один день. После включения лампочки срок ее службы также подчиняется экспоненциальному распределению со средним значением один день.

Каково среднее время до того, как перегорит первая лампочка?

*: Случайные события, подчиняющиеся экспоненциальному распределению, обладают свойством отсутствия памяти, поскольку прошлое не имеет значения. Другими словами, ни одно событие никогда не бывает просроченным, и вероятность его наступления всегда одинакова.

Ace2

Ответ: e - 1 = приблизительно 1,7182818...

[spoiler=Решение]

В среднем, для того чтобы загорелась первая лампочка, потребуется один день.

После этого до следующего важного события, будь то включение новой лампочки или перегорание первой, в среднем пройдет полдня. Мы добавляем полдня к времени ожидания до этого события. Таким образом, теперь у нас 1 + (1/2) = 1,5 дня.

Вероятность того, что вторым событием было включение второй лампочки, составляет 1/2. В этом случае до следующего значимого события (либо перегорание одной из первых двух лампочек, либо включение новой) остается 1/3 дня. Таким образом, к этому времени ожидания нужно добавить произведение 1/2 (вероятность дойти до этого момента) и 1/3, что равно 1/6. Получается 1,5 + 1/6 = 5/3 = 1,66667 дня.

Вероятность того, что третьим значимым событием стало включение третьей лампочки, составляет (1/2)*(1/3) = 1/6. В этом случае до следующего значимого события (либо перегорания одной из первых трех лампочек, либо включения новой) остается 1/4 дня. Таким образом, к этому времени ожидания нужно добавить произведение 1/6 (вероятность достижения этого момента) и 1/4, что равно 1/24. Получается 5/3 + 1/24 = 41/24 = 1,7083 дня.

Следуя этой закономерности, ответ равен (1/1!) + (1/2!) + (1/3!) + (1/4!) + (1/5!) + ...

Должно быть общеизвестно, что e = (1/0!) + (1/1!) + (1/2!) + (1/3!) + (1/4!) + (1/5!) + ...

Единственное отличие заключается в том, что в нашем ответе отсутствует множитель 1/0!. Таким образом, ответ равен e - 1/0! = e - 1 = приблизительно 1,7182818...

[/спойлер]

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

В среднем, сколько партий в «Червы»* должен сыграть один человек, чтобы увидеть все 52 карты в своей руке?

*: В игру «Червы» играет одна колода из 52 карт. Каждая раздача состоит из 13 карт.

анонимный

В среднем для просмотра всех 52 карт требуется примерно 16,41217418 раздач.

[spoiler=Решение]

Для решения этой задачи я использовал цепь Маркова в Excel. В следующей таблице показана вероятность увидеть все 52 карты за 4–100 раздач. В левом столбце указано количество раздач. В среднем столбце показана вероятность того, что игрок увидит 52-ю карту ровно за это количество раздач. В правом столбце показана вероятность того, что игрок увидит все 52 карты за это количество раздач или меньше. Например, вероятность того, что это произойдет ровно за 20 раздач, составляет 4,64%, а вероятность того, что это произойдет за 20 раздач или меньше, составляет 84,63%.

Вопрос о сердцах

Руки Вероятность
Точный
Число		 Вероятность
этим
Число
4 0.0000000000 0.0000000000
5 0.0000000002 0.0000000002
6 0.0000007599 0.0000007601
7 0.0000746722 0.0000754323
8 0.0012814367 0.0013568690
9 0.0078648712 0.0092217402
10 0.0250926475 0.0343143878
11 0.0519205664 0.0862349541
12 0.0800617820 0.1662967361
13 0.1007166199 0.2670133561
14 0.1098088628 0.3768222189
15 0.1081357062 0.4849579251
16 0.0989810156 0.5839389408
17 0.0859323992 0.6698713400
18 0.0717845305 0.7416558705
19 0.0582992717 0.7999551422
20 0.0463771514 0.8463322937
21 0.0363346393 0.8826669329
22 0.0281478762 0.9108148092
23 0.0216247308 0.9324395399
24 0.0165110023 0.9489505422
25 0.0125489118 0.9614994539
26 0.0095051901 0.9710046441
27 0.0071815343 0.9781861784
28 0.0054157295 0.9836019079
29 0.0040783935 0.9876803013
30 0.0030680973 0.9907483986
31 0.0023062828 0.9930546814
32 0.0017326282 0.9947873096
33 0.0013011028 0.9960884124
34 0.0009767397 0.9970651521
35 0.0007330651 0.9977982171
36 0.0005500841 0.9983483012
37 0.0004127226 0.9987610238
38 0.0003096311 0.9990706549
39 0.0002322731 0.9993029280
40 0.0001742327 0.9994771607
41 0.0001306901 0.9996078508
42 0.0000980263 0.9997058771
43 0.0000735246 0.9997794017
44 0.0000551461 0.9998345478
45 0.0000413611 0.9998759089
46 0.0000310217 0.9999069306
47 0.0000232667 0.9999301974
48 0.0000174503 0.9999476477
49 0.0000130879 0.9999607356
50 0.0000098160 0.9999705516
51 0.0000073620 0.9999779136
52 0.0000055216 0.9999834352
53 0.0000041412 0.9999875764
54 0.0000031059 0.9999906823
55 0.0000023294 0.9999930117
56 0.0000017471 0.9999947588
57 0.0000013103 0.9999960691
58 0.0000009827 0.9999970518
59 0.0000007370 0.9999977889
60 0.0000005528 0.9999983416
61 0.0000004146 0.9999987562
62 0.0000003109 0.9999990672
63 0.0000002332 0.9999993004
64 0.0000001749 0.9999994753
65 0.0000001312 0.9999996065
66 0.0000000984 0.9999997048
67 0.0000000738 0.9999997786
68 0.0000000553 0.9999998340
69 0.0000000415 0.9999998755
70 0.0000000311 0.9999999066
71 0.0000000233 0.9999999300
72 0.0000000175 0.9999999475
73 0.0000000131 0.9999999606
74 0.0000000098 0.9999999705
75 0.0000000074 0.9999999778
76 0.0000000055 0.9999999834
77 0.0000000042 0.9999999875
78 0.0000000031 0.9999999907
79 0.0000000023 0.9999999930
80 0.0000000018 0.9999999947
81 0.0000000013 0.9999999961
82 0.0000000010 0.9999999970
83 0.0000000007 0.9999999978
84 0.0000000006 0.9999999983
85 0.0000000004 0.9999999988
86 0.0000000003 0.9999999991
87 0.0000000002 0.9999999993
88 0.0000000002 0.9999999995
89 0.0000000001 0.9999999996
90 0.0000000001 0.9999999997
91 0.0000000001 0.9999999998
92 0.0000000001 0.9999999998
93 0.0000000000 0.9999999999
94 0.0000000000 0.9999999999
95 0.0000000000 0.9999999999
96 0.0000000000 0.9999999999
97 0.0000000000 1.0000000000
98 0.0000000000 1.0000000000
99 0.0000000000 1.0000000000
100 0.0000000000 1.0000000000
[/спойлер]

В казино в Калифорнии, штат Невада, есть старая электронная игра в блэкджек со следующими правилами:

  • Выигрыши, за исключением блэкджека, выплачиваются по схеме 3 к 2 (или 1 к 2).
  • В блэкджеке выплата составляет 6 к 1 (или 5 к 1).
  • Однопалубный
  • Дилер стоит на мягкой 17-й позиции.
  • Удвойте ставку на любые две предложенные начальные карты.
  • Разделение разрешено
  • После шпагата сделайте двойное повторение.
  • Повторное разделение невозможно.
  • Сдача невозможна

Rosebud

Интересно. Я предполагаю, что если игрок удваивает ставку и выигрывает, ему все равно выплачивают только 1 к 2 от общей суммы ставки.

Во-первых, вот основная стратегия применения этих правил:

  • Сложные руки: Никогда не удваивайте ставку. В остальном играйте по стандартной базовой стратегии, за исключением того, что останавливайтесь на 12 против 3 и 16 против 10.
  • Мягкие руки: Никогда не делайте дабл. Бейте по мячу, если счет мягкий — 17 или меньше, и по мячу, если счет мягкий — 18, а не 9. В противном случае, стойте на месте.
  • Пары: Разделяйте восьмерки только против пары 6 к 8. Всегда берите две туза. В противном случае, следуйте стратегии для определения точных сумм.

При соблюдении этих правил и стратегии мое преимущество перед казино составляет 7,88%.

Если игроку нужно дважды достичь определенной точки, прежде чем выпадет семерка, чтобы выиграть ставку на линию «пас» в крэпсе, насколько это увеличит преимущество казино?

Gary

Это ужасное правило увеличило бы преимущество казино с 1,41% до 33,26%.