Спросите Волшебника #339

Хороший вопрос! К счастью, существует приложение NFL Scorigami , которое подсчитывает количество всех комбинаций набранных очков в истории НФЛ.

Уверен, сторонники частотного подхода возненавидят мой ответ, но мне пришлось сделать некоторые предположения, чтобы получить вероятность события, которое никогда не происходило.

Для начала, чтобы получить индивидуальный командный результат, я проанализировал исторические игры НФЛ. В частности, игры с 1994 по 2018 год. Я выбрал 1994 год, потому что именно тогда было введено правило двухочковой конверсии, что должно немного сгладить распределение индивидуальных командных результатов. Я закончил на 2018 году, потому что это была верхняя граница имеющихся у меня данных. Вот это распределение.

Впрочем, это не имеет значения, но средний командный результат составляет 21,60165.

Во-вторых, для каждого результата xy, который никогда не встречался, я вычислил вероятность как 2×prob(x)×prob(y). Почему умножить на два? Потому что результат xy может произойти двумя способами. Например, Супербоул 55 может закончиться результатом «Канзас-Сити x — Тампа-Бэй y» или «Канзас-Сити y — Тампа-Бэй x». Супербоул может и не закончиться ничьей, поэтому нам не нужно беспокоиться о результатах xx. Если бы нужно было, мы бы не умножали на 2.

Например, результат 11-15 никогда не встречался. Я оценил вероятность получения 11 как 0,002539, а 15 — как 0,010157. Таким образом, вероятность получения результата 11-15 составит 2×0,002539×0,010157 = 0,0000515835.

Если проделать это для каждого случая, когда такого исхода еще не было, общая вероятность составит 0,0179251. Справедливая линия для ставки на это будет +5479, или примерно 55 к 1. Так что поставить против всего лишь 11 к 1 — это отличная ставка! Жаль, что у меня нет к ней доступа.

Признаю, это сводит на нет вероятность того, что какая-либо из команд наберет хотя бы одно очко, чего никогда не случалось, но могло бы. Да, существует такое понятие, как «безопасный» счет в одно очко . Вероятность того, что какая-либо из команд наберет хотя бы одно очко, на мой взгляд, крайне мала.

В действительности, тотал очков в Супербоуле 55 составлял 56,5. Такая результативная игра увеличила бы вероятность появления Скоригами. Если бы меня заставили оценить, я бы поставил 2%, что соответствует коэффициенту 49 к 1.

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

[spoiler=Решение]

Получить такие ответы в электронной таблице очень просто. Для иллюстрации рассмотрим другой вопрос: какова вероятность получить в сумме 20 очков при броске восьми игральных костей?

В столбце «1 кубик» очевидно, что существует только один способ выбросить каждую сумму от 1 до 6.

Для каждой ячейки, содержащей два или более кубиков, сместитесь на одну ячейку влево и добавьте значения из шести ячеек над этой ячейкой. Должно быть очевидно, почему это работает. Скопируйте и вставьте эту формулу в ячейку, содержащую восемь кубиков, итого 20.

Как видите, в ячейке всего 36 688 символов. Существует ^8²⁶ = 262 144 способа бросить восемь шестигранных кубиков. Таким образом, вероятность выпадения числа 20 при броске восьми кубиков составляет 36688 / 262 144 = 0,139954.

Применяя ту же логику, вероятность выпадения числа 53 при 20 бросках кубиков составляет 0,059511.

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

[spoiler=Решение]

Позволять:
t = время, прошедшее с момента, когда закончилось ракетное топливо.
r = время, на которое хватало ракетного топлива.

Я выражу ускорение в направлении вверх. Так, ускорение после сгорания ракетного топлива составляет -9,8.

Напомним, что интеграл от ускорения равен скорости, а интеграл от скорости равен местоположению. Давайте предположим, что местоположение определяется относительно земли.

В момент запуска ракеты нам известно, что ускорение равно 4.

Рассчитывая интеграл, получаем, что скорость ракеты через r секунд равна 4r.

Интегрирование скорости позволяет определить местоположение ракеты через r секунд из ^2r² .

Теперь давайте посмотрим, что происходит после того, как ракетное топливо сгорает.

Нам дано, что ускорение свободного падения равно -9,8.

В момент времени t скорость свободного падения составляет -9,8t. Однако она также имеет восходящую скорость 4r относительно ракеты.

Пусть v(t) = скорость в момент времени t.

v(t) = -9,8t + 4r

Ракета достигнет максимальной высоты, когда v(t) = 0. Давайте найдем это значение.

v(t) = 0 = -9,8t + 4r
4r = 9,8t
t = 40/98 r = 20r/49.

Иными словами, независимо от того, сколько времени осталось на ракетное топливо, ракета будет продолжать движение вверх в течение 20/49 этого времени.

Нам также известно, что пройденное расстояние на максимальной достигнутой высоте составляет 138.

Возьмём интеграл от v(t), чтобы получить формулу для пройденного расстояния, которую мы обозначим как d(t).

d(t) = ^-4,9t² + 4rt + c, где c — постоянная интегрирования.

Как мы уже показали, ракета пролетела ^2r² за то время, пока не сгорело топливо, поэтому это должна быть постоянная интегрирования. Отсюда получаем:

d(t) = ^-4.9t² + 4rt + ^2r²

Мы знаем, что максимальная высота 138 была достигнута в момент времени 20r/49. Поэтому подставим t=20r/49 в уравнение, чтобы найти r:

d((20р/49) = -4,9((20р/49) ² + 4р(20р/49) + 2р ² = 138

r ² *(-1960/2401 + 80/49 + 2) = 138

r ² = 49

р = 7

Таким образом, топлива в ракете хватило на семь секунд.

Нам уже известно, что ракета продолжала подниматься в воздух в течение 20/49 этого времени, что составляет 140/49 = приблизительно 2,8571 секунды.

Таким образом, время от старта до достижения максимальной скорости составляет 7 + 140/49 = 483/49 = приблизительно 9,8571 секунды.

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .