Спросите Волшебника #341

[spoiler=Решение]

Напомним, что вероятность выпадения суммы 2 равна 1/36. За t бросков ожидаемое количество бросков с суммой 2 составляет t/36. Предположим, что время между бросками распределено экспоненциально со средним значением t/36. Распределение Пуассона показывает, что вероятность выпадения нуля бросков с суммой 2 равна exp(-t/36).

Напомним, что вероятность выпадения суммы 3 равна 2/36 = 1/18. По той же логике, распределение Пуассона говорит нам, что вероятность выпадения нуля с суммой 3 равна exp(-t/18).

Напомним, что вероятность выпадения суммы 4 равна 3/36 = 1/12. По той же логике, распределение Пуассона говорит нам, что вероятность выпадения нуля с суммой 4 равна exp(-t/12).

Напомним, что вероятность выпадения числа 5 равна 4/36 = 1/9. По той же логике, распределение Пуассона показывает, что вероятность выпадения нуля чисел с суммой 5 равна exp(-t/9).

Напомним, что вероятность выпадения суммы 6 равна 5/36. По той же логике, распределение Пуассона говорит нам, что вероятность выпадения нуля с суммой 6 равна exp(-5t/36).

Напомним, что вероятность выпадения суммы 7 равна 6/36 = 1/6. По той же логике, распределение Пуассона говорит нам, что вероятность выпадения нуля с суммой 7 равна exp(-t/6).

Вероятности для чисел от 8 до 12 такие же, как и для чисел от 2 до 6.

Таким образом, вероятность того, что за t единиц каждая сумма выпала хотя бы один раз, составляет:

(1-exp(-t/36))^2 * (1-exp(-t/18))^2 * (1-exp(-t/12))^2 * (1-exp(-t/9))^2 * (1-exp(-5t/36))^2 * (1-exp(-t/6))

Вероятность того, что хотя бы одна сумма НЕ была выброшена за t единиц времени, равна 1 - (1-exp(-t/36))^2 * (1-exp(-t/18))^2 * (1-exp(-t/12))^2 * (1-exp(-t/9))^2 * (1-exp(-5t/36))^2 * (1-exp(-t/6))

Чтобы получить ожидаемое время без хотя бы одного итогового значения, мы интегрируем приведенную выше функцию от 0 до бесконечности.

С помощью интегрального калькулятора (я рекомендую этот ) это легко решится: 769767316159/12574325400 = приблизительно 61,2173847639572 рулонов.

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

[spoiler=Больше комментариев]

Трудно объяснить, почему ответ равен бесконечности. Чтобы еще больше запутать и парадоксать ситуацию, вероятность того, что суммы когда-либо сравняются, равна 1.

В следующей таблице показана вероятность того, что итоговые суммы впервые совпадут после 1–16 бросков.

В Excel очень точное соответствие этой кривой определяется формулой y = 0,1784*x-1,011, где x = количество бросков, а y = вероятность.

Сумма этого бесконечного ряда равна бесконечности.

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

Для начала давайте рассмотрим правила. Ставка составляет 2 доллара. Игра основана на вытягивании пяти шаров из 43. Вот таблица выплат:

• Совпадение 5 предметов = Джекпот
• Математика 4 = 200 долларов
• Совпадение 3 призов = 10 долларов
• Совпадение 2-х = 2 доллара

Кроме того, игрок получает, как я предполагаю, что-то вроде скретч-карты. Шанс выиграть 6 долларов составляет 1/80, а 2 доллара — 1/5.

В следующей таблице представлен мой анализ базовой игры. Она показывает, что выгода от угадывания от 2 до 4 чисел составляет 0,287784 доллара.

В следующей таблице представлен мой анализ функции мгновенного выигрыша Quick Cash. В нижней правой ячейке указано значение 0,475 доллара.

Таким образом, стоимость непрогрессивных призов составляет 0,287784 долл. США + 0,475000 долл. США = 0,762784 долл. США.

Пусть j равно значению джекпота, при котором достигается точка безубыточности. Тогда:

2 = 0,762784 + j × (1/962598)
1,237216 = j × (1/962598)
j = 1,237216 × 962598
j = 1 190 941,95 долл. США.

Общая норма доходности составляет 0,381392 плюс 0,051943 на каждые 100 000 долларов джекпота.

Как указано в вопросе, все это не включает налоги и распределение джекпота.

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .