Спросите Волшебника #345

Если я раздам 13 карт из перемешанной (предположительно случайной) колоды, сколько разных рангов я могу ожидать увидеть?

Suited89

Ответ: 9,05037214885954 ранга.

[spoiler=Решение]

Это, безусловно, задача типа цепи Маркова.

В следующей таблице показано ожидаемое количество рангов с картами от 0 до 4 для всех чисел карт, сданных в колоду, от 1 до 52.

Ожидаемые ранги по розданным картам

Карты	0 рангов	1 ранг	2 ранга	3 ранга	4 ранга	Ожидал Ранги
1	12.000000	1.000000	0.000000	0.000000	0.000000	1.000000
2	11.058824	1.882353	0.058824	0.000000	0.000000	1.941176
3	10.174118	2.654118	0.169412	0.002353	0.000000	2.825882
4	9.343577	3.322161	0.324994	0.009220	0.000048	3.656423
5	8.564946	3.893157	0.519088	0.022569	0.000240	4.435054
6	7.836014	4.373589	0.745498	0.044178	0.000720	5.163986
7	7.154622	4.769748	0.998319	0.075630	0.001681	5.845378
8	6.518655	5.087731	1.271933	0.118319	0.003361	6.481345
9	5.926050	5.333445	1.561008	0.173445	0.006050	7.073950
10	5.374790	5.512605	1.860504	0.242017	0.010084	7.625210
11	4.862905	5.630732	2.165666	0.324850	0.015846	8.137095
12	4.388475	5.693157	2.472029	0.422569	0.023770	8.611525
13	3.949628	5.705018	2.775414	0.535606	0.034334	9.050372
14	3.544538	5.671261	3.071933	0.664202	0.048067	9.455462
15	3.171429	5.596639	3.357983	0.808403	0.065546	9.828571
16	2.828571	5.485714	3.630252	0.968067	0.087395	10.171429
17	2.514286	5.342857	3.885714	1.142857	0.114286	10.485714
18	2.226939	5.172245	4.121633	1.332245	0.146939	10.773061
19	1.964946	4.977863	4.335558	1.535510	0.186122	11.035054
20	1.726771	4.763505	4.525330	1.751741	0.232653	11.273229
21	1.510924	4.532773	4.689076	1.979832	0.287395	11.489076
22	1.315966	4.289076	4.825210	2.218487	0.351261	11.684034
23	1.140504	4.035630	4.932437	2.466218	0.425210	11.859496
24	0.983193	3.775462	5.009748	2.721345	0.510252	12.016807
25	0.842737	3.511405	5.056423	2.981993	0.607443	12.157263
26	0.717887	3.246098	5.072029	3.246098	0.717887	12.282113
27	0.607443	2.981993	5.056423	3.511405	0.842737	12.392557
28	0.510252	2.721345	5.009748	3.775462	0.983193	12.489748
29	0.425210	2.466218	4.932437	4.035630	1.140504	12.574790
30	0.351261	2.218487	4.825210	4.289076	1.315966	12.648739
31	0.287395	1.979832	4.689076	4.532773	1.510924	12.712605
32	0.232653	1.751741	4.525330	4.763505	1.726771	12.767347
33	0.186122	1.535510	4.335558	4.977863	1.964946	12.813878
34	0.146939	1.332245	4.121633	5.172245	2.226939	12.853061
35	0.114286	1.142857	3.885714	5.342857	2.514286	12.885714
36	0.087395	0.968067	3.630252	5.485714	2.828571	12.912605
37	0.065546	0.808403	3.357983	5.596639	3.171429	12.934454
38	0.048067	0.664202	3.071933	5.671261	3.544538	12.951933
39	0.034334	0.535606	2.775414	5.705018	3.949628	12.965666
40	0.023770	0.422569	2.472029	5.693157	4.388475	12.976230
41	0.015846	0.324850	2.165666	5.630732	4.862905	12.984154
42	0.010084	0.242017	1.860504	5.512605	5.374790	12.989916
43	0.006050	0.173445	1.561008	5.333445	5.926050	12.993950
44	0.003361	0.118319	1.271933	5.087731	6.518655	12.996639
45	0.001681	0.075630	0.998319	4.769748	7.154622	12.998319
46	0.000720	0.044178	0.745498	4.373589	7.836014	12.999280
47	0.000240	0.022569	0.519088	3.893157	8.564946	12.999760
48	0.000048	0.009220	0.324994	3.322161	9.343577	12.999952
49	0.000000	0.002353	0.169412	2.654118	10.174118	13.000000
50	0.000000	0.000000	0.058824	1.882353	11.058824	13.000000
51	0.000000	0.000000	0.000000	1.000000	12.000000	13.000000
52	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	13.000000	13.000000

[/спойлер]

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

В своих советах по программированию для видеопокера вы объясняете, что, хотя в видеопокере существует 2 598 960 возможных стартовых комбинаций, при использовании колоды из 52 карт для анализа необходимо проанализировать всего 134 459 классов комбинаций.

Мой вопрос: сколько существует классов, в которых используется от двух до шести колод карт?

анонимный

В этом вопросе я обратился к своему уважаемому коллеге Гэри Колеру, эксперту по математике видеопокера. Вот его ответы, в зависимости от количества колод:

Классы раздач в видеопокере

Палубы	Комбинации	Классы
1	2 598 960	134,459
2	91,962,520	202,735
3	721,656,936	208,143
4	3 091 033 296	208,468
5	9,525,431,552	208,481
6	23,856,384,552	208,481

Бросают пять красных и пять синих игральных костей. Какова вероятность того, что результаты броска обеих костей будут одинаковыми, независимо от порядка выпадения? Например, в обоих случаях выпадут 1-2-3-3-6.

анонимный

3557 / 559872 = 0,006353238, или примерно 1/157.

[spoiler=Решение]

В таблице ниже представлены данные для любого типа рулонов:

Количество различных способов, которыми может быть получен этот результат. Например, для фулл-хауса существует шесть комбинаций для трех одинаковых карт и пять для пары, что в общей сложности составляет 30 различных фулл-хаусов.
Количество порядков. Например, для фулл-хауса существует combin(5,3)=10 способов выбрать три из пяти кубиков, чтобы получить три одинаковых числа. Два других кубика должны составлять пару.
Количество способов выпадения данной комбинации карт. Это произведение первых двух столбцов. Например, существует 30 * 10 = 300 способов выбросить фулл-хаус.
Вероятность выпадения комбинации. Например, для фулл-хауса вероятность составляет 300/6 ⁵ = 0,038580.
Вероятность того, что оба броска выпадут одинаково и соответствуют данной комбинации карт. Это квадрат вероятности из четвертого столбца, деленный на квадрат вероятности из второго столбца. Например, вероятность того, что оба броска выпадут фулл-хаусом, составляет ^0,038580² . Однако вероятность того, что они выпадут одинаковым фулл-хаусом, составляет 1/30. Таким образом, вероятность того, что оба броска выпадут одинаковым фулл-хаусом, равна ^0,038580² /30 = 0,00004961.

В нижней правой ячейке показана общая вероятность того, что оба броска окажутся одинаковыми, равная 0,00635324.

Соответствующий рулон

Тип рулона	Другой Типы	Заказы	Общий Комбинации	Вероятность Один рулон	Вероятность Два рулона
Пять одинаковых	6	1	6	0.00077160	0.00000010
Четыре одинаковых	30	5	150	0.01929012	0.00001240
Аншлаг	30	10	300	0.03858025	0.00004961
Три одинаковых	60	20	1200	0.15432099	0.00039692
Две пары	60	30	1,800	0.23148148	0.00089306
Пара	60	60	3600	0.46296296	0.00357225
Пять отдельных особей	6	120	720	0.09259259	0.00142890
Общий			7776	1.00000000	0.00635324