Спросите Волшебника #346

Да. Это означает изменение стратегии для второго игрока, если у него более 2/3 очков, чем у игрока, занявшего первое место.

Давайте упростим ситуацию до игры для двух игроков, следующим образом:

• Ситуация А: У команды, занявшей второе место, меньше половины очков, чем у команды, занявшей первое место.
• Ситуация B: Второй игрок занимает от 1/2 до 2/3 первого места.
• Ситуация C: Второе место занимает более 2/3 участников, занимающих первое место.

Прежде чем продолжить, позвольте мне напомнить читателю об изменении правил игры Jeopardy, касающемся ничьих после финального раунда. Теперь оба игрока не проходят дальше, а есть дополнительный вопрос для определения победителя в случае ничьей. Вот такая ситуация ...

Ситуация А

Пусть A = 10 000 долларов, а B = 4 000 долларов.

Игроку А не следует рисковать проигрышем, делая ставки не более A-2B-1. Если он не уверен в выигрыше в этой категории, он может поставить 0 долларов. В любом случае, он гарантирует себе победу. В этом случае А должен поставить от 0 до 1999 долларов.

У игрока B нет никаких шансов, если только игрок A не сделает слишком большую ставку и не проиграет. В этом случае игроку B следует учитывать результат третьего места и постараться удержаться выше него, если это возможно, выиграв 2000 долларов за второе место, а не 1000 долларов за третье.

Ситуация Б

Пусть A = 10 000 долларов, а B = 6 000 долларов.

Стратегия для А заключается в том, чтобы ожидать, что В поставит все свои деньги, и поставить достаточно, чтобы покрыть 2B, если он окажется прав. Однако, чтобы подстраховаться, он не должен ставить слишком много, чтобы в случае ошибки его ставка не оказалась ниже ставки В. В этом случае он должен поставить как минимум 2B-A+1 и AB-1. В этом случае диапазон ставок составляет от 2001 до 3999 долларов.

Стратегия для Б состоит в том, чтобы набрать как минимум достаточно средств, чтобы пройти тест А, если ответ будет верным, и тем самым повысить свой общий балл. В данном случае это 4001 и 6000 долларов.

Если оба игрока действуют, как ожидается, и следуют этой стратегии, то игрок B может выиграть только в том случае, если игрок A ошибается, а игрок B прав. Вероятность этого составляет около 19%.

Ситуация C

Здесь все усложняется и требует применения теории игр и рандомизации.

Пусть A = 10 000 долларов, а B = 7 000 долларов.

Прежде чем продолжить, важно оценить вероятность правильного ответа на вопрос в финальном раунде Jeopardy. В сезонах с 30 по 34 игрок, занявший первое место, ответил правильно в 52% случаев, а игрок, занявший второе место, — в 46%. Однако эти вероятности положительно коррелируют. Вот анализ всех четырех возможных вариантов:

• Оба варианта верны: 27%
• Первое место — правильно, второе — неправильно: 25%
• Первое место — неправильно, второе — правильно: 19%
• Оба варианта неверны на 29%.

Несмотря на то, что в игре Jeopardy средний процент правильных ответов первых двух игроков составляет 49%, вероятность того, что оба игрока ответят правильно или оба — неправильно, равна 56%.

Конечно, эти значения могут меняться в зависимости от категории, но давайте упростим задачу и воспользуемся приведенными выше вероятностями.

В этой ситуации игроку B не нужно зависеть от того, окажется ли A неправ, а B прав. Он может сделать небольшую ставку, скажем, 0 долларов, гарантируя себе выигрыш, если A окажется неправ. Другими словами, если A поставит достаточно, чтобы покрыть ставку B, если он окажется прав, то в случае ошибки он рискует оказаться ниже ставки B, а B поставит 0 долларов.

Однако, если А предсказывает, что В поставит низкую ставку, скажем, 0 долларов, то А может гарантировать себе победу, также поставив 0 долларов. По сути, у обоих игроков есть выбор: поставить низкую или высокую ставку. А должен хотеть поставить так же, как и В, а В — наоборот. Если бы оба игрока были идеальными логиками, они бы принимали решения случайным образом.

В этом случае высокая ставка со стороны А должна составлять от 2B-A+1 до AB-1, как и в ситуации B. В этом случае это 2999 и 4001 доллар. Низкая ставка со стороны А должна составлять 0 долларов.

Высокая ставка со стороны B должна быть такой же, как и в ситуации B: ставка должна быть достаточной, чтобы пройти мимо A, если предположение верно. В данном случае это 3001 и 7000 долларов. Низкая ставка со стороны B должна быть равна 0 долларов.

Простите, если я пропущу математические вычисления и сразу перейду к стратегиям рандомизации для обоих игроков.

Игрок А должен выбрать высокую ставку с вероятностью 62,3%, а низкую — с вероятностью 37,7%.

Вероятность выбора игрока B должна быть высокой (61,2%), а низкой (38,8%).

Если предположить, что оба игрока следуют этой стратегии рандомизации и что вероятности правильных ответов указаны выше, то вероятность выигрыша игрока А составляет 65,2%.

Если бы у игрока А было более 2/3 очков, чем у игрока В, вероятность его победы возросла бы до 81,0%.

Оба игрока должны помнить о значении правила 2/3 при совершении ставок в игре Double Jeopardy.

В этом случае я обратился к своему уважаемому коллеге Гэри Колеру, эксперту по математике в видеопокере. Его ответ — 15 019 680.

Чтобы ответить на этот вопрос, как я это сделал, используя методы дифференциального и интегрального исчисления, я рекомендую использовать калькулятор интегралов, например, тот, что находится на сайте integral-calculator.com/ .

Вот моё решение (PDF).

Эта проблема (в несколько измененной формулировке) задается и обсуждается на моем форуме Wizard of Vegas .