Спросите Волшебника #348

[spoiler=Решение] Пусть t ₁ = время до первого пересечения
Пусть _t² = время до второго пересечения
r = отношение скорости парома, первоначально покидающего Фаунтлерой, к скорости парома, первоначально покидающего Саутвуорт.
c = Расстояние по каналу между двумя городами.

Нам известно, что первое пересечение границы происходит в 5 милях от Саутвурта. Чтобы выразить это формулами:

c-5 = r*t ₁
5 = t ₁

Приравнивая t ₁ , получаем:

c-5 = 5r, или r = (c-5)/5

Нам также известно, что во второй раз они пересекают границу в 3 милях от Фаунтлероя. Чтобы выразить это формулами:

3c - 3 = r*t ₂
c+3 = t ₂

Приравнивая t ₂ , получаем:

2c - 3 = r*(c+3)

Подставим r=(c-5)/5

2c-3 = [(c-5)/5] * (c+3)
10c - 15 = c² - 2c - 15
c² - 12c = 0 c - 12 = 0 c = 12

Таким образом, длина канала составляет 12 миль.

Напомним, что в игре Crapless Craps числа 2, 3, 11 и 12 не сразу разрешают ставку на линию Pass Line, а считаются очками, как и числа 4, 5, 6, 8, 9 и 10.

Первый шаг в моем решении заключается в вычислении вероятности любого заданного исхода ставки на линию «пас», следующим образом.

Если сложить все способы проиграть, получится 7303/13860 = приблизительно 0,526912.

Следующий шаг в моем решении этой задачи использует методы математического анализа. Он основан на том факте, что ответ был бы тем же, если бы между завершением ставок на линию «Pass Line» существовал случайный промежуток времени. Назовем среднее время между завершением ставок равным 1, и оно будет распределено по экспоненциальному распределению, то есть оно обладает свойством отсутствия памяти.

Пусть x обозначает время, прошедшее с начала хода стрелка.

Вероятность того, что стрелок не одержал победу с разницей в 0,2 очка, равна exp(-x/252). Таким образом, вероятность того, что он одержал хотя бы одну победу с разницей в 0,2 очка, равна 1-exp(-x/252).

Вероятность того, что стрелок не одержал победу с разницей в 0,3 очка, равна exp(-x/72). Таким образом, вероятность того, что он одержал хотя бы одну победу с разницей в 0,3 очка, равна 1-exp(-x/72).

Вероятность того, что стрелок не одержал победу с разницей в 0,4 очка, равна exp(-x/36). Таким образом, вероятность того, что он одержал хотя бы одну победу с разницей в 0,4 очка, равна 1-exp(-x/36).

Вероятность того, что стрелок не одержал победу с разницей в 0,5 очка, равна exp(-2x/45). Таким образом, вероятность того, что он одержал хотя бы одну победу с разницей в 0,5 очка, равна 1-exp(-2x/45).

Вероятность того, что стрелок не одержал победу с разницей в 0,6 очка, равна exp(-2x/45). Таким образом, вероятность того, что он одержал хотя бы одну победу с разницей в 0,6 очка, равна 1-exp(-x/72).

Обратите внимание, что эти вероятности одинаковы для чисел от 8 до 12, поэтому мы можем возвести их в квадрат, чтобы показать, что каждое из них было достигнуто дважды.

Вероятность того, что стрелок не проиграл, равна exp(-7303x/13860).

Вероятность проигрыша составляет 7303/13860.

Мы можем решить эту задачу, интегрируя от t = 0 до бесконечности вероятность того, что произведение всех условий выигрыша выполнено, условия проигрыша не выполнено, и вероятность проигрыша при условии, что ставка определена.

Интегрируемая функция равна exp(-7303x/13860)*(1-exp(-x/252))^2*(1-exp(-x/72))^2*(1-exp(-x/36))^2*(1-exp(-2x/45))^2*(1-exp(-25x/396))^2*(7303/13860).

Введите это в калькулятор интегралов, например, на сайте integral-calculator.com . Не забудьте указать пределы от 0 до бесконечности. Ответ будет таким же, как и в приведенном выше примере.

Хороший вопрос. Ранее была приведена формула для игрока, делающего ставки на "краткосрочную перспективу", где джекпот должен быть положительным на первой ставке.

Однако для игрока, который играет долгое время и может позволить себе играть до тех пор, пока не выпадет джекпот, точка выигрыша меньше. Я обновил страницу, добавив формулы для обоих типов игроков. Вкратце, две формулы следующие:

j (кратковременный) = m × (1-f)/(1-f+r)
j (долгосрочная перспектива) = m × (1-fr)/(1-f+r)

Где:

j = Размер джекпота, обеспечивающий безубыточность (при нулевом преимуществе казино)
f = Сумма всех фиксированных выигрышей плюс баллы и бонусы игрового клуба.
m = Максимальный джекпот (предельный выигрыш)
n = Минимальный джекпот (точка повторного начисления)
r = Скорость повышения показаний счетчика

[спойлер=Ответ]

Пронумеруйте их 0, 1, 2 и 4.

Существует шесть способов вытянуть две из четырех карт, а именно:

• 0+1 = 1
• 0+2 = 2
• 1+2 = 3
• 0+4 = 4
• 1+4 = 5
• 2+4 = 6

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .