Спросите Волшебника #350

В хоккее действительно, похоже, существует стимул доводить игру до овертайма по указанной вами причине. Давайте рассмотрим некоторые данные, чтобы ответить на ваш вопрос. Следующие данные охватывают четыре хоккейных сезона, начиная с сезона 2017/2018.

В следующей таблице представлен анализ 7846 игр, сыгранных за четыре сезона, с разбивкой по категориям: регулярный сезон или плей-офф, и овертайм. Таблица показывает, что в регулярном сезоне овертайм перешёл в 11,27% игр, а в плей-офф — в 54/544 = 9,03%.

Вопрос в том, является ли эта разница между 11,27% и 9,03% статистически значимой или, возможно, объясняется нормальным распределением дисперсии. Для проверки средних значений двух выборок я собираюсь провести критерий хи-квадрат, используя калькулятор сравнения пропорций на MedCalc.org. Из всех 7846 игр 871 перешла в овертайм, что составляет вероятность 11,10%. Вероятность отсутствия овертайма составляет 88,90% для той же выборки. Если предположить, что нет статистически значимой разницы между играми регулярного сезона и играми плей-офф, то 804,6 игр регулярного сезона должны были перейти в овертайм, а 66,4 игр плей-офф.

В следующей таблице сравниваются фактические результаты с ожидаемыми, исходя из предположения, что истинная вероятность овертайма одинакова как для игр регулярного сезона, так и для игр плей-офф. В правом столбце показана статистика хи-квадрат, которая представляет собой квадрат разницы между фактическими и ожидаемыми результатами, деленный на ожидаемый результат.

В таблице выше показана статистика хи-квадрат, равная 2,813628. При одной степени свободы вероятность такого или более сильного искажения результатов составляет 9,347%. Другими словами, если бы не было изменений в поведении между игрой регулярного сезона и игрой плей-офф, что привело бы к действительно равной вероятности овертайма, вероятность того, что мы увидим такое различие в 2,24% игр, переходящих в овертайм или более, составляет 9,347%. Проще говоря, эти данные указывают на статистически значимую разницу в частоте овертайма между двумя типами игр. Однако всё ещё существует 9,35% вероятность того, что это можно объяснить как нормальную случайную дисперсию.

Следует добавить, что калькулятор MedCalc, на который я дал ссылку, а также другие источники, применяют поправку "N-1" к статистике хи-квадрат. Точнее, они умножают статистику хи-квадрат на (N-1)/N, где N — общее количество наблюдений. В этом случае скорректированная статистика хи-квадрат будет равна 2,813628 * (7845/7846) = 2,813270. Значение p для этой статистики хи-квадрат с одной степенью свободы составляет 9,349%. Я не хочу вносить путаницу с этой незначительной поправкой, но если бы я этого не сделал, уверен, мои читатели удивились бы, почему я этого не сделал.

Лично я считаю, что в регулярном сезоне команды чаще стремятся довести игру до овертайма, чем в плей-офф, и данные это подтверждают, но они не доказывают это с абсолютной уверенностью.

Внешние ссылки

• Применение критерия хи-квадрат в Школе общественного здравоохранения им. Блумберга при Университете Джонса Хопкинса.

Оценить потенциал Верландера будет непросто, поэтому давайте сделаем это в последнюю очередь.

В сезоне 2019/2020 процент реализации штрафных бросков у Стефа Карри составлял 93,10% (источник: Basketball Reference ).

В НФЛ средний показатель для филд-гола с 40 ярдов составляет 85,83%. Однако я бы сказал, что Такер показывает результаты выше среднего. Для филд-голов с расстояния от 30 до 39 ярдов средний показатель в НФЛ составляет 89,32%, а у Такера — 96,63%. Применив этот процент Такера к среднему показателю в НФЛ, я оцениваю вероятность того, что Такер забьет филд-гол с 40 ярдов, как 85,85% × (96,63%/89,32%) = 92,86%.

В бейсболе всё довольно сложно. Возникает вопрос: говорим ли мы о реальных подачах в реальных играх или о контролируемой демонстрации? Это важно, потому что в реальных играх питчеры не стремятся каждый раз бросать страйк. В большинстве случаев они стараются бросать мяч ближе к краю зоны страйка, что затрудняет отбивающему возможность сделать чистый удар.

У меня нет статистики, подтверждающей это, но я наблюдал за питчерами в разминочной зоне в играх низших лиг, которые, казалось, почти всегда попадали прямо в перчатку кэтчера, без необходимости его движения. Я приблизительно предполагаю, что такой питчер, как Верландер, мог бы бросать страйки в контролируемом тесте как минимум в 95% случаев. Однако в реальных играх процент страйков у Верландера составляет всего 68,50%.

Чтобы получить вероятность 100 последовательных успешных испытаний, игнорируя фактор утомления, достаточно возвести вероятность одного успешного испытания в сотую степень.

В итоге, если речь идёт о контролируемом эксперименте, я выберу Верландера, а в реальных игровых условиях — Карри.

Этот вопрос изначально был задан на Barstool Sports . Также его активно обсуждают на моём форуме Wizard of Vegas .

Вот пара формул, которые могут оказаться полезными для читателя:

Прокрутите вниз, чтобы увидеть мой ответ и решение.

Под "эффективностью" я подразумеваю, как я понимаю, тот тип снаряда, у которого наименьшее количество неиспользуемого пространства между ядрами.

Для простоты, чтобы определить объем каждой пирамиды, возьмем за основу центры шаров, расположенных по углам пирамиды. Пусть n — количество пушечных ядер на одной стороне основания каждой пирамиды.

Давайте сначала рассмотрим пирамиду с квадратным основанием.

Количество пушечных ядер во всей пирамиде равно ^1² + ^2² + 3² + ^4² + ^5² + ^{6² +} ... + ^n² = n*(n+1)*(2n+1)/6.

Далее найдем высоту этой квадратной пирамиды, у которой сторона основания равна n. Как видно на рисунке, стороны (кроме квадратного основания) представляют собой равносторонние треугольники. Таким образом, наклонная высота также равна n. Расстояние от одного угла основания до противоположного угла равно n*sqrt(2). Расстояние от угла основания до центра основания, следовательно, равно n*sqrt(2)/2. Пусть высота будет h. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, расстоянием от угла основания до центра основания и наклонной высотой.

^h² + (n*sqrt(2)/2) ^² = ^n²
h = n*sqrt(2)/2.

Напомним, что объём пирамиды равен произведению основания на высоту и объёма трёх элементов. Таким образом, объём пирамиды равен:

Таким образом, отношение количества шаров к объему составляет [n*(n+1)*(2n+1)/6] / [ ^n³ *sqrt(2)/6] = sqrt(2)*n*(n+1)*(2n+1)/(2* ^n³ ) = sqrt(2)*(n+1)*(2n+1)/(2* ^n² )

Далее рассмотрим пирамиду с треугольным основанием.

Количество пушечных ядер во всей пирамиде равно 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + ... + n*(n+1)/2 = n*(n+1)*(n+2)/6.

Далее найдем площадь основания. Напомним, что стороны треугольника с углами 30-60-90 пропорциональны 1/2, √3/2 и 1. Отсюда нетрудно догадаться, что высота равностороннего треугольника со стороной n равна n √3/2. Следовательно, площадь основания n² равна ² √3/4.

Расстояние от угла основания до центра основания равно sqrt(3)/3. Учитывая это и наклонную высоту 1 пирамиды, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти высоту пирамиды как sqrt(6)/3.

Теперь мы можем найти объем пирамиды как основание*высота/3 = ( ^n² *√3/4) * (n*√6/3) * (1/3) = ^n³ *√18/36 = ^n³ *√2/12.

Таким образом, отношение количества шаров к объему составляет [n*(n+1)*(n+2)/6] / [ ^n³ *sqrt(2)/12] = sqrt(2)*n*(n+1)*(2n+1)/(2* ^n³ ) = sqrt(2)*(n+1)*(n+2)/ ^n²

Вот сравнение соотношения размеров шариков и их объема:

• Квадратное основание: sqrt(2)*(n+1)*(2n+1)/(2*n ² )
• Основание треугольника: sqrt(2)*(n+1)*(n+2)/n ²

Разделим оба отношения на sqrt(2)*(n+1)/n ² :

• Квадратное основание: (2n+1)/2 = n + 0,5
• Основание треугольника: n+2

По мере увеличения n отношение количества шаров к объему будет приближаться к n для обеих пирамид. Другими словами, чем больше количество пушечных ядер, тем более одинаково эффективными они оказываются.

Учитывая объем пушечного ядра, эффективность обеих пирамид, определяемая как отношение объема пушечного ядра к общему объему, приближается к π*√2/6 ≈ примерно 74,05%.

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .