Спросите Волшебника #356

[spoiler=solution]

Вместо того чтобы карта вытягивалась ровно один раз за единицу времени, ответ будет тем же, если карта вытягивается со случайным промежутком времени между вытягиваниями, при условии, что это среднее время подчиняется экспоненциальному распределению со средним значением 1.

Время между вытягиванием любой карты в среднем составляет 52. Учитывая свойства экспоненциального распределения, вероятность того, что карта не будет вытянута через t единиц времени, равна exp(-t/52).

По истечении t единиц времени вероятность того, что какая-либо конкретная карта будет вытянута хотя бы один раз, равна 1-exp(-t/52).

Через t единиц времени вероятность того, что хотя бы один раз будут вытянуты 13 конкретных карт, равна (1-exp(-t/52))^13.

По истечении t единиц времени, по крайней мере, одна из 13 конкретных карт НЕ будет вытянута, равно 1-(1-exp(-t/52))^13.

Через t единиц времени вероятность того, что в каждой масти будет отсутствовать хотя бы одна карта, равна (1-(1-exp(-t/52))^13)^4.

Введя это уравнение в калькулятор интегралов и убедившись, что границы интегрирования заданы от 0 до бесконечности, получаем: 712830140335392780521 / 6621889966337599800 ≈ 107,6475362712258

Этот вопрос был задан и обсуждался на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

Позвольте мне переформулировать ваш вопрос, не ссылаясь предварительно на предыдущую проблему.

16 игроков соревнуются в игре на стеклянном мосту. Мост разделён на 18 пар стеклянных панелей. В каждой паре одна панель из закалённого стекла выдерживает вес игрока. Другая панель из обычного стекла разобьётся под весом игрока. Если игрок наступит на обычную стеклянную панель, он разобьёт её и упадёт насмерть.

Игроки должны продвигаться по очереди в заранее определенном порядке. Игроки не помнят, где находятся безопасные ступеньки, за исключением случаев, когда это очевидно, например, если одна из двух панелей сломана.

Предположим, что при выборе каждой пары стеклянных ступенек игроки выбираются случайным образом. Каково ожидаемое количество игроков, которые смогут безопасно перейти ступеньку?

Пожалуйста, нажмите на кнопку ниже, чтобы увидеть мой ответ.

[спойлер=Ответ]

В следующей таблице показана вероятность выживания каждого игрока в порядке их выступлений. В нижней правой ячейке указано ожидаемое число выживших, равное 0,23884892.

В моём решении использовалась цепь Маркова, объяснение которой было бы сложным и трудоёмким.

Этот вопрос задается и обсуждается в моей колонке « Волшебник Вегаса» .

[spoiler=Решение]

В восьми картах четырех противников вероятность того, что четыре из них окажутся тузами, составляет combin(46,4)/combin(50,8) = 0,000303951.

Исходя из этого, вероятность того, что все четыре туза находятся в разных руках, составляет 1-2^4*4!*4!/8! = 0,228571429. Таким образом, вероятность альтернативного варианта, что существует хотя бы одна пара тузов, составляет 1 - 0,228571429 = 0,771428571.

Вероятность того, что все четыре туза выведены из игры и хотя бы в одной руке есть два туза, составляет 0,000303951 * 0,771428571 = 0,000234477.

В восьми картах четырех противников вероятность того, что три из них окажутся тузами, составляет combin(4,3) * combin(46,5)/combin(50,8) = 0,010212766.

Исходя из этого, вероятность того, что две из них окажутся в одной руке, составляет 4*3*COMBIN(3,2)*5*COMBIN(4,2)/(COMBIN(8,2)*COMBIN(6,2)*COMBIN(4,2)) = 0,428571429.

Вероятность того, что три туза выбыли из игры, и два из них находятся в одной руке, составляет 0,010212766 * 0,428571429 = 0,0043769.

В восьми картах четырех противников вероятность того, что две из них окажутся тузами, составляет combin(4,2) * combin(46,6)/combin(50,8) = 0,104680851.

Вероятность того, что они оба находятся в одной руке, составляет 1/7 = 0,142857143.

Вероятность того, что две туза окажутся в одной руке, составляет 0,104680851 * 0,142857143 = 0,014954407.

Если сложить все способы, которыми хотя бы один противник может получить два туза, мы получим ответ: 0,000234477 + 0,0043769 + 0,014954407 = 0,019565784.

Эта акция превратит проигрышную ставку в выигрышную, если выбранная команда будет лидировать с преимуществом в 17 или более очков, а затем проиграет. Хороший пример такой ситуации — ставка на «Атланта Фэлконс» в Супербоуле 51. В какой-то момент в третьей четверти «Фэлконс» вели со счетом 28:3, то есть с преимуществом в 25 очков. Однако в итоге они проиграли со счетом 28:34.

Чтобы ответить на этот вопрос, я проанализировал 4131 игру, сыгранную в каждом сезоне НФЛ с 2000 по 2015 год. В следующей таблице показан наибольший отставание, которое имела команда-победительница на протяжении игры. Столбец «Вероятность» исключает пять игр, завершившихся ничьей.

В строке «Ничья» указаны пять игр из 16 сезонов, завершившихся ничьей, поэтому давайте их не будем учитывать. В строке «0» указаны 43,7% игр, в которых команда-победитель ни разу не отставала в счете.

В таблице показано, что в 87 играх команда проиграла с разницей в 17 очков или более, а затем одержала победу. Из 4126 сыгранных игр (то есть, не считая пяти ничьих) эта вероятность составляет 2,11%.

Учитывая, что в таких ситуациях проигрыш превращается в выигрыш, мы удваиваем эту вероятность, получая значение 4,22%. Преимущество казино на ставках на победу примерно такое же, как и на ставки против форы, и составляет 4,76%. Вычитая 4,22%, мы получаем очень низкое преимущество казино в размере 0,54% в рамках этой акции.