Wizard рекомендует
-
$11000 Приветственный бонус -
$3000 Приветственный бонус -
Бонус до $777
Спросите Волшебника #358
В новом игровом шоу канала Food Network, «Клюква или ничего», вам предстоит выбрать одну из двух дверей: А или Б. За одной дверью вас ждет пожизненный запас клюквенного соуса, а за другой — абсолютно ничего. И, поверьте, вы обожаете клюквенный соус.
Конечно, есть один нюанс. Хозяин вручает вам монету с двумя сторонами, обозначенными буквами А и В, которые соответствуют каждой двери. Хозяин говорит, что монета смещена в пользу двери с клюквой — не уточняя, какая именно это дверь — и буква, соответствующая этой двери, выпадет в 60% случаев. Например, если соус находится за дверью А, то монета выпадет А в 60% случаев, а В — в оставшихся 40%.
Вы можете подбросить монетку дважды, после чего должны сделать свой выбор. Предположим, вы оптимизируете свою стратегию. Каковы ваши шансы выбрать дверь с клюквенным соусом?
Дополнительное задание: Вместо двух бросков, что, если вам разрешат три, четыре, ... десять бросков? Каковы ваши шансы выбрать дверь с клюквенным соусом?
Единственный случай с подбрасыванием монеты довольно прост. У игрока будет 60% шансов попасть на дверь с клюквенным соусом. Стратегия игрока должна заключаться в том, чтобы выбрать ту дверь, на которую упадет монета. Таким образом, у него будет 60% шанс выбрать правильную дверь.
[/спойлер] [spoiler=Решение с двумя переворотами]Допустим, в двери А находится клюквенный соус, а в двери Б ничего нет. Таким образом, вероятность выпадения варианта А составляет 60%. Стратегия игрока должна заключаться в том, чтобы выбрать ту дверь, на которую монета выпадет чаще всего. Если же выпадет ничья, игрок может выбрать любую из дверей, поскольку у него нет полезной информации.
Вот возможные исходы и их вероятность. Случаи, в которых встречаются как варианты А, так и варианты В, могут быть в любом порядке:
AA: 60%^2 = 36%
AB: 2*60%*40% = 48%
BB: 40%^2 = 16%
Игрок правильно выберет дверь, если монета оба раза упадет на точку А. Если она упадет на А и на В, у него не будет никакой полезной информации, и его шансы будут 50/50. Если монета оба раза упадет на В, он выберет неправильную дверь.
Таким образом, в случае с двумя подбрасываниями у игрока будет 60% + 48%*(1/2) = 60% шанс выбрать правильную дверь.
[/спойлер] [спойлер=Решение с тремя переворотами]Допустим, в двери А находится клюквенный соус, а в двери Б ничего нет. Таким образом, вероятность выпадения клюквенного соуса на стороне А составляет 60%. Стратегия игрока должна заключаться в том, чтобы выбрать ту дверь, на которую монета выпадет чаще всего.
Вот возможные исходы и их вероятность. Случаи, в которых встречаются как варианты А, так и варианты В, могут быть в любом порядке:
AAA: 60%^3 = 21,6%
AAB: 3*60%^2*40% = 43,2%
ABB: 3*60%^2*40% = 28,8%
BBB: 40%^3 = 6,4%
Игрок правильно выберет дверь, если монета дважды упадет на точку B. Если же монета два или более раз упадет на точку B, он выберет неправильную дверь.
Таким образом, в случае трех бросков кубика у игрока будет 21,6% + 43,2% = 64,8% шанс выбрать правильную дверь.
[/спойлер] [спойлер=Решение с четырьмя переворотами]Допустим, в двери А находится клюквенный соус, а в двери Б ничего нет. Таким образом, вероятность выпадения варианта А составляет 60%. Стратегия игрока должна заключаться в том, чтобы выбрать ту дверь, на которую монета выпадет чаще всего. Если же выпадет ничья, игрок может выбрать любую из дверей, поскольку у него нет полезной информации.
Вот возможные исходы и их вероятность. Случаи, в которых встречаются как варианты А, так и варианты В, могут быть в любом порядке:
AAAA: 60%^4 = 12,96%
AAAB: 4*60%^3*40% = 34,56%
AABB: 6*60^2*40%^2 = 34,56%
ABBB: 4*60%*40%^3 = 15,36%
BBBB: 40%^4 = 2,56%
Игрок правильно выберет дверь, если монета хотя бы трижды упадет на точку А. Если она дважды упадет на А и дважды на В, у него не будет никакой полезной информации, и его шансы составят 50/50. Если же монета хотя бы трижды упадет на В, он выберет неправильную дверь.
Таким образом, в случае четырех бросков кубика у игрока будет 12,96% + 34,56% + 34,56%*(1/2) = 64,80% шанс выбрать правильную дверь.
[/спойлер]Логика, описанная для первых четырех случаев, применима ко всем случаям. Помните, что количество способов выбрать x из y предметов равно y!/(x! * (yx)!).
Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .
В честь Дня благодарения вы и 19 математиков сидите за круглым столом. Каждый за столом хочет порцию клюквенного соуса, который как раз сейчас находится перед вами.
Сначала вы сами себе накладываете соус. Затем, вместо того чтобы передавать его по кругу, вы решаете случайным образом передать его человеку, сидящему слева или справа от вас. Он делает то же самое, случайным образом передавая соус либо человеку слева, либо справа от себя. Это продолжается до тех пор, пока в какой-то момент каждый не получит клюквенный соус.
Из 20 человек, сидящих в кругу, у кого наибольшие шансы оказаться последним, кто получит клюквенный соус?
Назовём одного из математиков G. Для того чтобы G оказался последним, должны произойти две вещи:
- Клюква должна сначала достичь одного из соседей G.
- Клюква должна переместиться на 19 позиций в противоположном направлении, ни разу не достигнув точки G.
В конце концов, клюква должна достичь одного из соседних кустов. Вероятность этого составляет 100%.
Тогда вероятность для второй части будет одинаковой для каждого человека. Следовательно, у каждого человека равная вероятность оказаться последним.
Если это объяснение было непонятным, то Джиалмер взял эту задачу с сайта fivethirtyeight.com. Там объясняется решение . Прокрутите вниз до раздела «Решение классической загадки прошлой недели».
[/спойлер]Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .
В гауссову кривую случайным образом бросают дротик. Пусть точка падения дротика — (x,y). Каково математическое ожидание абсолютного значения x?
[спойлер=Ответ]sqrt(2/π) =~ 0.797884560802865355879892119868 76373695171726232986931533185165 93413158517986036770025046678146 13872860605117725270365371021983 90911167448599242546125101541269 05411654409986351290326916150611 94507285464167339186956543405998 37283812691206561786677721340931.[/spoiler]
Вот моё решение (PDF).
Для вычислений с точностью до десятичных знаков, пожалуйста, воспользуйтесь моим калькулятором Wiz Calculator .
Если случайного человека попросить назвать любую карту из колоды из 52 карт, какую карту он, скорее всего, выберет?
Туз пик, безусловно, лучший выбор. Согласно данным «Психологии магии» , туз пик выбирают в 24,59% случаев. Вот 5 самых популярных карт:
- Туз пик: 24,59%
- Королева сердец: 13,71%
- Туз червей: 6,15%
- Король сердец: 5,91%
- Валет пик: 4,26%
В их выборке из 417 карт так и не были выбраны пятерка бубен, шестерка треф, пятерка треф, шестерка пик и четверка пик.