WOO logo

Wizard рекомендует

Спросите Волшебника #364

Вы отправляетесь на неделю назад во времени, чтобы попытаться выиграть в лотерею. Призовой фонд составляет 10 миллионов долларов, а каждый билет стоит доллар. Обратите внимание, что в случае выигрыша деньги за билет не возвращаются. Всё это звучит довольно заманчиво.

Проблема в том, что вы не одиноки. Есть еще 10 путешественников во времени, которые тоже знают выигрышные номера. Вы точно знаете, что каждый из них купит ровно один лотерейный билет. Теперь, согласно правилам лотереи, приз делится поровну между всеми выигрышными билетами (то есть, не поровну между победителями).

Сколько билетов нужно купить, чтобы максимизировать прибыль?

Gialmere

[спойлер=Подсказка]

Запомните правило деления:

[f(x)/g(x)] d/dx = (f'(x)*g(x) - f(x)*g'(x))/(g(x))^2

[/спойлер]

9,990

[spoiler=Решение]

Пусть n — количество купленных вами билетов.

Пусть w(n) = Чистый выигрыш при покупке n билетов = 10 000 000 × (n/(n+10)) - n.

Чтобы найти точку, в которой один дополнительный билет не меняет чистый выигрыш, возьмем производную от w(n). Здесь используем правило частного (см. подсказку), где числитель равен n, а знаменатель равен (n+10).

w'(n) = 10 000 000 * (1*(n+10) - n*1)/(n+10)^2 - 1 = 0

10 000 000 * 10/(n+10)^2 - 1 = 0

10 000 000 * 10/(n+10)^2 = 1

100 000 000 = (n+10)^2

10 000 = n+10

n = 9990

[/спойлер]

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме Wizard of Vegas .

Я вижу, что кто-то на вашем форуме утверждает, что стал свидетелем 60 подряд выигрышных раздач в блэкджеке. Сколько раздач в среднем нужно сыграть, чтобы это увидеть? И как это соотносится с событием, упомянутым в колонке «Спроси волшебника» (№ 363), когда кто-то якобы стал свидетелем 18 раз подряд выпадения суммы 11 в крэпсе?

анонимный

Чтобы ответить на ваш вопрос, мы должны сначала предположить некоторые правила игры в блэкджек. Я буду использовать то, что я называю «либеральными правилами игры в блэкджек», которые выглядят следующим образом:

  • Шесть палуб
  • Дилер стоит на мягкой 17-й позиции.
  • После разделения разрешен двойной аут
  • Повторное разделение тузов разрешено.
  • Капитуляция разрешена

При соблюдении этих правил и при условии идеальной базовой стратегии, вероятности чистого выигрыша/проигрыша будут следующими:

  • Чистый выигрыш: 42,43%
  • Чистый приток: 8,48%
  • Чистый убыток: 49,09%

Я опросил свидетеля этого события, и он сказал, что 60 раздач не включают пуши. Другими словами, 60 разрешенных раздач. Я также предполагаю, что если игрок разделяет карты, это все равно считается только одной раздачей, и в итоге был чистый выигрыш по всем раздачам, в которых игрок разделил карты.

Как поясняется в вопросе о 18 последовательных суммах, равных 11, формула для расчета ожидаемого времени ожидания выглядит следующим образом:

Ожидаемое время ожидания = [(1/p)^(n+1) - 1] / [(1/p) - 1] - 1, где:
n = количество последовательных побед
p = вероятность выигрыша

В этом случае вероятность чистого выигрыша за раздачу при условии, что раздача завершена, составляет 42,43% / (43,43% + 49,09%) = 46,36%. Точнее, 0,46359564.

Используя приведенную выше формулу, ожидаемое время ожидания для наблюдения этого события составляет (1/0,46359564)^61 - 1]/[(1/0,46359564) - 1] - 1 = 200 941 772 393 648 000 000 раздач.

Для сравнения, время ожидания, необходимое для того, чтобы увидеть 18 сумм из 11 очков подряд в крэпсе, составляет 41 660 902 667 961 000 000 000 бросков, что в 207 раз больше. Таким образом, история 18-летнего парня по-прежнему удерживает рекорд как самая невероятная история, рассказанная на форуме «Волшебник Вегаса», насколько мне известно.

У меня было 300 долларов в виде бонусных баллов, и я пригласил друзей использовать их в ресторане. Мы все хорошо провели время, пока счет не составил около 386 долларов с учетом налогов и чаевых. Мои друзья специально не взяли с собой денег и просто предположили, что я оплачу налоги и чаевые за всех. Я расстроился и сказал им, что, по моему мнению, все должны разделить налоги и чаевые, поскольку бонусные баллы не покрывают эти расходы.

Они утверждали, что я должен оплатить все налоги и чаевые, поскольку я их пригласил, и это были мои бонусы. Я возразил, что элементарная вежливость предполагает справедливую оплату налогов и чаевых. Мои друзья были возмущены, посчитали мое поведение неразумным и отказались внести свою лепту в оплату налогов и чаевых. Я заплатил примерно 86 долларов налогов и чаевых, так как было ясно, что никто из моих друзей не станет платить. А официант начал нервничать. Вместо того чтобы поблагодарить меня за использование моих бонусов и оплатить налоги и чаевые самостоятельно, они все рассердились на меня за то, что я вообще попросил их внести свою лепту. Был ли я неправ в этой ситуации?

Riverjordan

Мне давно не задавали вопросов по этикету, так что спасибо.

Вы выставляете своих друзей довольно скупыми, не внося свой вклад в оплату налогов и чаевых. Кстати, в Неваде с посетителя не взимается налог за бесплатный обед, так что это, должно быть, произошло в другом штате. Однако вам следовало чётко обозначить свои ожидания ещё при приглашении. Так что я вижу вину с обеих сторон.

По крайней мере, это отличный повод для обучения. Я участвовал в бесплатных обедах в Вегасе как минимум 100 раз, иногда сам предоставлял бесплатный обед, а иногда — кто-то другой. Как правило, я придерживаюсь следующего этикета: тот, кто предоставляет бесплатный обед, объясняет ограничения на максимальную сумму вознаграждения на момент приглашения. Затем каждый приглашенный оплачивает часть суммы, превышающую максимальную сумму вознаграждения, и чаевые.

Этот вопрос был задан и обсуждался на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .