Спросите Волшебника #367

Для удобства других читателей поясним: вопрос сводится к тому, сколько из следующих сумм выпадут на двух игральных костях, прежде чем сумма достигнет семи: 4, 5, 6, 8, 9 и 10.

Ответ — 2,375758. В следующей таблице показана вероятность выпадения от нуля до шести уникальных сумм в указанном диапазоне для каждой отдельной возможности. В нижней правой ячейке показано среднее количество уникальных сумм, выпавших до семерки.

Имеющиеся данные свидетельствуют об обратном!

Перси Диаконис и Сьюзан Холмс из Стэнфордского университета провели 10 000 подбрасываний монеты. Монета выпадала той же стороной вверх, что и в начале, в 50,8% случаев (источник: «Решение на 51 процент» из информационного бюллетеня «Что происходит в математических науках» Американского математического общества). Вероятность получения такого высокого или более высокого соотношения составляет 5,48%.

Чтобы доказать это математически, я предположил, что фактическое число оборотов монеты подчиняется распределению Пуассона. Точнее, если среднее число оборотов равно m, то вероятность ровно n оборотов равна exp(-m)*m^n/n!. Для иллюстрации распределения Пуассона на следующем графике показана вероятность от 0 до 25 оборотов при среднем значении 10.

Причина, по которой я выбрал предположение о распределении Пуассона, заключается в том, что при достаточно больших средних значениях оно имеет форму, близкую к колоколообразной, а фактический результат никогда не может быть ниже нуля.

Затем я рассчитал вероятность четного числа полуоборотов (в результате которых та же сторона окажется вверху, что и в исходном положении) для различных средних значений полуоборотов. В следующей таблице показаны результаты для средних значений от 0,5 до 5,0.

Затем меня заинтересовало, почему вероятность четного числа всегда больше 50%. Оказалось, что вероятность четного числа при среднем значении m может быть выражена как 0,5 + e^(-2m)/2. e в любой степени должно быть положительным, следовательно, вероятность четного числа оборотов также положительна.

Доказательство этой формулы вы можете увидеть здесь .

Для удобства других читателей позвольте мне сначала кратко изложить правила.

1. На игровом поле находятся 30 карт, пронумерованных от 1 до 30.
2. На оборотной стороне каждой карточки находится буква или слово «car». Распределение каждой карточки следующее:
   • C: 11
   • А: 11
   • Р: 6
   • Автомобиль: 2
3. Ведущий позволяет игроку выбрать две карты.
4. После игры на определение цены, в которую я не буду вдаваться, у игрока появляется возможность заработать до трех дополнительных карт.
5. Карты будут перевернуты.
6. Игрок может выиграть автомобиль двумя способами:
   • Игрок получает как минимум одну карту каждой буквы (таким образом, получается слово CAR).
   • Игрок получает как минимум одну из карт "CAR".
7. В любой момент игры игрок может сдаться и получить 1000 долларов за каждую неперевернутую карту.

Вот видеоролик с игрой.

В следующей таблице показана вероятность выигрыша в зависимости от количества карт у игрока, при условии, что ни одна из них еще не была перевернута.

Прежде чем перевернуть карты, игрок не должен сдаваться, предполагая, что автомобиль имеет разумную стоимость. Например, даже имея всего две карты, у игрока есть 13,1% шанс получить хотя бы одну карту АВТОМОБИЛЬ. Игроку должно быть все равно, если стоимость автомобиля составляет 15 263,16 долларов, а стоимость нового автомобиля — 2000 долларов.

Ниже приведены точки безразличия к стоимости автомобиля в зависимости от количества неперевернутых карт у игрока.