WOO logo

Wizard рекомендует

Спросите Волшебника #369

Решите уравнение относительно x:

9x + 12x = 16x

анонимный

=(log(1+SQRT(5))-log(2))/(log(4)-log(3)) =~ 1.67272093446233.

Вот моё решение (PDF).

Эта проблема была задана и обсуждалась на моём форуме Wizard of Odds .

Эта задача была вдохновлена видеороликом «Сложная задача на показательные функции» .

Найдите десятизначное число такое, что:

  • Первая цифра числа — это количество нулей во всем числе.
  • Вторая цифра числа — это количество единиц во всем числе.
  • Третья цифра числа — это количество двоек в целом числе.
  • Четвертая цифра числа — это количество троек в целом числе.
  • Пятая цифра числа — это количество четверок в целом числе.
  • Шестая цифра числа — это количество пятерок в целом числе.
  • Седьмая цифра числа — это количество шестерок в целом числе.
  • Восьмая цифра числа — это количество семерок в целом числе.
  • Девятая цифра числа — это количество восьмерок в целом числе.
  • Десятая цифра числа — это количество девяток в целом числе.

анонимный

6,210,001,000

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

Злой надзиратель собирает 100 заключенных и присваивает каждому уникальное число от 1 до 100.

В другой комнате находятся 100 пронумерованных коробок. Начальник тюрьмы берет листки бумаги с номерами от 1 до 100 и случайным образом кладет их в коробки, по одному листку в каждую.

На следующий день заключенных будут пускать в комнату с ящиками по одному. Каждый заключенный может открыть 50 ящиков. Если заключенный найдет свой номер (например, заключенный № 23 найдет ящик с номерами 23), то он будет считаться «успешным» и сможет выйти раньше, если найдет его до 50-го открытия. Выход осуществляется через отдельную дверь, отличную от входа. Заключенные, которые еще не получили свою очередь, не будут знать результаты предыдущих заключенных.

Если все 100 заключенных добьются успеха, их всех освободят. Однако, если один или несколько человек потерпят неудачу, всех их немедленно казнят.

Заключенным разрешается провести вместе день, чтобы разработать стратегию. Как только первый заключенный войдет в комнату с ящиками, дальнейшее общение с ним запрещено. Примерами общения могут служить, помимо прочего, перекладывание бумаг и оставление крышек открытыми. Если будет обнаружен какой-либо контакт, все заключенные будут немедленно казнены.

Какая стратегия позволит максимально увеличить вероятность их освобождения?

анонимный

Максимальная вероятность успеха составляет приблизительно 31,18278207%

[spoiler=Только стратегия]

Основная идея заключается в том, что если хотя бы один заключенный потерпит неудачу, то и многие другие могут потерпеть неудачу, поскольку конечный результат — смерть для всех — все равно будет одинаковым. Таким образом, хорошая стратегия должна максимизировать вероятность успеха каждого за счет высокой вероятности многочисленных неудач.

Рассмотрим стратегию, при которой игрок открывает любую коробку. Затем он читает число на листке бумаги внутри неё и открывает эту коробку второй. После этого он читает листок бумаги во второй коробке и открывает коробку с этим числом третьей. Если он будет повторять этот процесс, в конце концов он вернется к коробке, с которой начал.

Если игрок будет следовать этой стратегии, и его собственное число окажется где-то в этом ряду чисел, то он, очевидно, в конце концов его найдет, при условии, что нет ограничений на количество открываемых им ящиков.

Чтобы игрок всегда в конечном итоге находил свой номер, он может начать с собственного номера. Таким образом, он в конечном итоге вернется к нему, хотя для этого может потребоваться от 1 до 100 открытий ящиков.

Набор ящиков, в котором данная стратегия в конечном итоге приводит обратно к первому ящику, называется замкнутым контуром. Количество ящиков в замкнутом контуре равно его размеру.

Ключ к решению этой проблемы заключается в том, что каждый заключенный добьется успеха, если не будет замкнутого цикла размером более 50.

[/спойлер]

[spoiler=Решение]

Если замкнутый круг размером 100, заключенные потерпят неудачу. Какова вероятность этого? Вероятность того, что первый ящик НЕ ведет сам к себе, составляет 99/100. Если он не ведет сам к себе, то вероятность того, что второй ящик не ведет к исходному числу, составляет 98/99. Если и этот ящик не ведет сам к себе, то вероятность того, что следующий ящик не ведет сам к себе, составляет 97/98. Продолжая эту логику, вероятность того, что замкнутый круг размером 100 имеет вид (99/100)*(98/99)*(97/88)*...*(3/4)*(2/3)*(1/2) = 1/100.

А что насчет замкнутого цикла из 99 ячеек? При наличии замкнутого цикла из 99 ячеек появится еще один замкнутый цикл из 1 ячейки. Этот замкнутый цикл из одной ячейки может состоять из любой из 100 ячеек. Вероятность того, что одна ячейка приведет к тому же результату, составляет 1/100. Вероятность того, что остальные 99 ячеек образуют замкнутый цикл, составляет 1/99, согласно логике, приведенной выше для замкнутого цикла из 100 ячеек. Таким образом, вероятность образования замкнутого цикла из 99 ячеек равна 100 × (1/100) и (1/99) = 1/99.

А что насчет замкнутого круга из 98? В замкнутом круге из 98 будет еще два ящика, которые каким-то образом приведут друг к другу, либо два замкнутых круга по одному, либо один замкнутый круг из двух. Этот замкнутый круг из одного ящика может представлять собой любой из 100 ящиков. Вероятность того, что любой ящик приведет сам к себе, составляет 1/100. Вероятность того, что остальные 99 ящиков образуют замкнутый круг, составляет 1/99, согласно логике, приведенной выше для замкнутого круга из 100 ящиков. Таким образом, вероятность образования замкнутого круга из 99 ящиков равна 100 × (1/100) × (1/99) = 1/99.

А что насчет замкнутого круга из 98? При замкнутом круге из 98, будут еще два ящика, которые каким-то образом соединятся друг с другом, либо два замкнутых круга по одному, либо один замкнутый круг из двух. Существует комбинаций (100, 2) = 4950 способов выбрать два ящика из 100. После выбора двух ящиков вероятность того, что бумаги в этих двух ящиках будут совпадать с номерами ящиков в любой конфигурации, составляет (2/100) * (1/99) = 1 из 4950. Тогда вероятность того, что остальные 98 образуют замкнутый круг, составляет 1/98. Таким образом, вероятность образования замкнутого круга из 98 составляет (4950) * (1/4950) * (1/98) = 1/98.

Мы можем продолжать следовать этой логике до замкнутого цикла, в котором вероятность 51 равна 1/51.

Вероятность отказа равна pr(замкнутый контур из 100) + pr(замкнутый контур из 99) + pr(замкнутый контур из 98) + ... + pr(замкнутый контур из 51) = 1/100 + 1/99 + 1/98 + 1/97 + ... + 1/51 ≈ 0,6881721793.

Если вероятность неудачи равна 0,688172179, то вероятность успеха равна 1 - 0,6881721793 ≈ 0,3118278207.

[/спойлер]

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

Этот вопрос был навеян видеороликом Veritasium .

В вашем офисе, где работают 100 сотрудников, проводится обмен подарками в рамках акции «Тайный Санта». Для этого нужно написать имена всех участников на отдельных листочках бумаги, положить их в шляпу, и каждый случайным образом вытягивает имя, которому дарит подарок.

Вопрос в том, сколько замкнутых контуров будет в среднем?

Пример замкнутого цикла размером 4: Гордон дает Дону, Дон дает Джону, Джон дает Натану, и Натан дает Гордону.

Изображение вашего собственного имени будет представлять собой замкнутый контур размером 1.

анонимный

(1/1) + (1/2) + (1/3) + ... + (1/100) =~ 5.187377518.

[spoiler=Решение]

Предположим, на вечеринку «Тайный Санта» приходит только один сотрудник. Очевидно, он выберет себя сам, так что получается замкнутый цикл.

Затем приходит второй сотрудник, опоздавший на работу, и просит разрешения присоединиться. Ей дают список из двух оставшихся сотрудников. Есть вероятность 1/2, что она выберет сотрудника 1, и 1/2 — сама. Если она выберет сотрудника 1, то её можно будет втиснуть в его цикл, где она будет покупать для сотрудника 1, а он — для неё. Таким образом, теперь у нас получается 1 + 0,5*1 = 1,5

Затем опоздает третий сотрудник и просит присоединиться к команде. Ей дают список из трех оставшихся сотрудников. Вероятность того, что она выберет сотрудника № 1 или № 2, составляет 2/3, а вероятность того, что она выберет себя, — 1/3. Если она выберет сотрудника № 1 или № 2, то её можно будет втиснуть в их цикл, где она покупает товары для выбранного ею сотрудника, а тот, кто раньше должен был покупать товары для этого сотрудника, теперь покупает товары для всех троих. Таким образом, теперь у нас получается 1,5 + (1/3) = 11/6.

Затем четвертая сотрудница опаздывает и просит присоединиться к ним. Ей дают список из четырех сотрудников. Вероятность того, что она выберет сотрудников с 1 по 3, составляет 3/4, а вероятность того, что она выберет себя, — 1/4. Если она выберет сотрудников с 1 по 3, то ее можно будет втиснуть в их цикл, где она покупает товары для выбранного ею сотрудника, а тот, кто раньше должен был покупать для этого сотрудника, теперь покупает для всех четырех. Таким образом, теперь у нас получается 11/6 + (1/4) = 25/12.

Продолжайте в том же духе, и окончательный ответ будет 1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/100 ≈ 5,187377518.

[/спойлер]

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .