Спросите Волшебника #374

Для тех, кто не знаком с домино, поясним: у домино две стороны, на каждой из которых написано число от 0 до 6. Множество состоит из одного домино каждого возможного типа. Это означает, что нужно выбрать все 7 возможных комбинаций чисел без возвращения (7,2) = 21, плюс все 7 способов получить оба числа на одной стороне.

Вот все 28 из них: 0-0, 0-1, 0-2, 0-3, 0-4, 0-5, 0-6, 1-1, 1-2, 1-3, 1-4, 1-5, 1-6, 2-2-2, 2-3, 2-4, 2-5, 2-6, 3-3, 3-4, 3-5, 3-6, 4-4, 4-5, 4-6, 5-5, 5-6, 6-6.

После этого объяснения, вот ответ и решение.

Проще говоря, вопрос звучит так: какова вероятность того, что у случайно выбранной доминошки с обеих сторон будет одинаковое число? Ответ прост: 7/28 = 1/4.

Можно сказать, что ответ должен быть 1/7, потому что на другой стороне может быть любое из семи возможных чисел. Это правда, что это может быть любое из семи чисел, но не все они одинаково вероятны. Домино 6-6 следует учитывать дважды, потому что у него две стороны с шестеркой. Таким образом, на другой стороне может быть любая из двух шестерок, а всего в наборе восемь шестерок. Следовательно, ответ 2/8 = 1/4.

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме Wizard of Vegas . Вопрос посвящён памяти Алана Мендельсона.

Алан и Боб решают играть в теннис до тех пор, пока один из них не выиграет две игры подряд. Вероятность победы Алана в любой конкретной игре составляет 2/3. Какова вероятность того, что Алан выиграет турнир?

Ниже представлено решение задачи генерации вероятности выигрыша Алана в отдельной игре.

Пусть p = вероятность выигрыша a.
Пусть a = вероятность того, что Алан выиграет турнир после того, как Алан выиграет свою последнюю игру.
Пусть b = вероятность того, что Алан выиграет турнир после того, как Боб выиграет последнюю игру.

(1) a = p + (1-p)*b
(2) b = p*a

Подставляя уравнение (2) в уравнение (1):

a = p + (1-p)*pa
a = p + pa - p ² *a
a - pa + p ² *a = p
a(1-p+p ² ) = p
(3) a = p/(1-p+p ² )

Подставляя уравнение (3) в уравнение (2):

b = ^p² /(1-p+ ^p² )

Первая игра определит, будет ли вероятность победы в турнире равна a или b:

ответ = pa + (1-p)b
= ^p² /(1-p+ ^p² ) + (1-p)* ^p² /(1-p+ ^p² )
= ( ^2a² - ^a³ )/( ^a² - a+1)

Подставив a=2/3, получаем вероятность выигрыша в турнире 16/21.

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

Теоретически, существует 3 ⁵ = 243 возможных исхода первого хода. Простите, если я рассмотрю только те случаи, когда сумма желтых и зеленых карт равна от 0 до 2. Я разделю свои советы на категории в зависимости от количества желтых и зеленых карт, полученных игроком в первом ходу. Я укажу десять лучших допустимых слов, согласно моему анализу, а также мой личный выбор, учитывающий место в списке и мое мнение о вероятности того, что New York Times выберет это слово. В некоторых случаях не было слов, соответствующих определенному показателю. В таких случаях я поставлю «X» для этой строки.

Можно утверждать, что, имея одну зеленую букву, следует сделать пробный ход с пятью новыми буквами. Если вы так сделаете, я бы выбрал DOILY. Честно говоря, я не уверен, стоит ли стремиться к максимально возможному результату в 2 очка или лучше перестраховаться и попробовать пятую букву.