Спросите Волшебника #395

[спойлер=Ответ]

радиус = (sqrt(3)-1)/4 ≈ 0,183013.

• r = Радиус окружностей
• s = Расстояние между любым углом большого квадрата и точкой касания ближайшей окружности к треугольнику, в который он вписан.

Глядя на треугольник на изображении, расстояния между ними следующие:

• короткий конец = r+s
• длинная нога = 3r+s
• гипотенуза = 1

Используя формулу Пифагора:

(r+s) ^² + (3r+s) ^² = 1

^r² + 2rs + ^s² + ^9r² + 6rs + ^s² = 1

^10r² + ^2s² + 8rs = 1

Для решения нам понадобится другое уравнение. Давайте посмотрим на длину большого квадрата, которая, как нам дано, равна 1. AB = AC. AB = 2r + s, следовательно, AC = 2r + s. Остальная сторона большого квадрата равна s. Итак:

2r + 2s = 1.

2s = 1-2r

s = 1/2 - r

Давайте подставим это в наше уравнение, полученное с помощью формулы Питагора:

^10r² + 2(1/2 - r) ^² + 8r(1/2 - r) = 1

10р ² + 2(1/4 - р + р ² ) + 4р - 8р ² = 1

2р ² + 1/2 - 2р + 2р ² + 4р = 1

^4r² + 2r - 1/2 = 0

^8r² + 4r - 1 = 0

Используя квадратное уравнение:

r = (-4 +/- sqrt(48))/16

r = (sqrt(3)-1)/4 =~ 0,183013.

Эта задача взята с YouTube-канала Mind Your Decisions . Преш предлагает решение, которое не требует использования формулы Пифагора.

[/спойлер]

Эта проблема задается и обсуждается на моем форуме Wizard of Vegas .

Допустим, если выпадает 4 или 10, игрок платит 5% комиссии только с выигрыша. Будем следовать правилу Вегаса, где 12 на первом броске считается ничьей по ставке «не пас» (в северной Неваде ничья при выпадении 2). Итак, вот все возможные исходы:

• Выпадение 2 или 3 на броске кубика: игрок выигрывает одну единицу по ставке «не пасуй».
• Выпадение 12 на броске кубика: игрок ставит на "не пас".
• Если выпадет 7 или 11, игрок проигрывает по ставке «не пасуй».
• Выигрыш по очкам 4 или 10: игрок выигрывает 1,95 единицы на ставке «купить» и проигрывает одну единицу на ставке «не пройти», чистый выигрыш составляет 0,95 единицы.
• Ставка в 5 или 9 очков приносит выигрыш: игрок выигрывает 1,4 единицы по ставке на место и проигрывает одну единицу по ставке «не проходит», чистый выигрыш составляет 0,4 единицы.
• Выпадение 6 или 8 очков и выигрыш по очкам: игрок выигрывает 7/6 единиц по ставке на место и проигрывает одну единицу по ставке «не проходит», чистый выигрыш составляет 1/6 единиц.
• Если набрано 4 или 10 очков, игрок проигрывает: он теряет 1 единицу на ставке покупки и выигрывает 1 единицу на ставке «не пасует» для чистого выигрыша.
• Если выпадает 5 или 9 очков и очко проигрывается: игрок теряет 1 единицу по ставке на место и выигрывает 1 единицу по ставке «не пасует» для чистого выигрыша.
• Если набрано 6 или 8 очков и очко проиграно: игрок теряет 1 единицу на ставке на место и выигрывает 1 единицу на ставке «не пасует» для чистого выигрыша.

В следующей таблице приведены все возможные исходы. В таблице показана вероятность, выигрыш и вклад в прибыль для всех возможных исходов. В нижней правой ячейке указан ожидаемый убыток в размере 0,02951 единиц.

Причина отрицательного ожидаемого значения этой стратегии кроется в первом броске кубика. При выпадении 2 или 3 есть 3 способа выиграть, а при выпадении 7 или 11 — 8 способов проиграть. Действительно, если игрок переживает первый бросок, у него положительное эквити, но этого недостаточно, чтобы компенсировать ожидаемый проигрыш при первом броске.

Это классический вопрос байесовской теории вероятностей.

Если она ответит «нет», вероятность того, что она сошла с ума, составляет 9/47 = 19,15%.

Если она ответит «да», то вероятность того, что она сошла с ума, составит 1/3 = 33,33%.

Формула для ответа на вопросы, сформулированные как «если А, то В», — это вероятность (и А, и В) / вероятность (В).

В случае отрицательного ответа вероятность того, что она рассержена, составляет (0,2*0,9)/(0,2*0,9 + 0,8*0,95) = 0,18/0,94 = 9/47.

В случае положительного ответа вероятность того, что она недовольна, составляет (0,2*0,1)/(0,2*0,1 + 0,8*0,05) = 0,02/0,06 = 1/3.