Спросите Волшебника #397

В среднем, сколько вращений потребуется в рулетке с двумя нулями, чтобы каждое число выпало хотя бы дважды?

heatmap

Приблизительно 234,832663 вращений

Вот моё решение (PDF).

Следующая кнопка отображает дополнительные ответы для рулетки с одним нулем, двумя нулями и тремя нулями, требующие как минимум одного, двух и трех выпадений каждого числа соответственно.

Рулетка с одним нулем:

Хотя бы один раз: 155.458690
По крайней мере дважды: 227.513340
По крайней мере трижды: 290,543597

Рулетка с двумя нулями:

Хотя бы один раз: 160.660277
По крайней мере дважды: 234.832663
По крайней мере трижды: 298.396127

Рулетка с тремя нулями:

Хотя бы один раз: 165.888179
По крайней мере дважды: 242.181868
По крайней мере трижды: 308.880287

[/спойлер]

Следующая кнопка отображает интегралы для девяти ситуаций, упомянутых выше.

[spoiler=Интегралы]

Если 0: 1-(1-exp(-x/37))^37

00: 1-(1-exp(-x/38))^38

000: 1-(1-exp(-x/39))^39

Дважды

0: 1-(1-exp(-x/37)*(1+x/37))^37

00: 1-(1-exp(-x/38)*(1+x/38))^38

000: 1-(1-exp(-x/39)*(1+x/39))^39

Трижды

0: 1-(1-exp(-x/37)*(1+x/37+x^2/2738))^37

00: 1-(1-exp(-x/38)*(1+x/38+x^2/2888))^38

000: 1-(1-exp(-x/39)*(1+x/39+x^2/3042))^39

Что такое «закон третей» в рулетке?

анонимный

«Закон третей» гласит, что если вы вращаете рулетку один раз для каждого выпавшего числа, то примерно 1/3 чисел никогда не выпадут.

1/3 — это довольно неточная оценка. Гораздо лучше было бы 1/e ≈ 36,79%. Истинный процент в рулетке с двумя нулями составляет 36,30%.

В следующей таблице показана вероятность выпадения от 1 до 38 различных чисел за 38 вращений рулетки с двумя нулями.

Закон третей — Рулетка с двумя нулями

Отчетливый Числа	Вероятность
1	0.000000000
2	0.000000000
3	0.000000000
4	0.000000000
5	0.000000000
6	0.000000000
7	0.000000000
8	0.000000000
9	0.000000000
10	0.000000000
11	0.000000000
12	0.000000000
13	0.000000005
14	0.000000124
15	0.000001991
16	0.000022848
17	0.000191281
18	0.001186530
19	0.005519547
20	0.019434593
21	0.052152293
22	0.107159339
23	0.169042497
24	0.204864337
25	0.190490321
26	0.135436876
27	0.073211471
28	0.029838199
29	0.009063960
30	0.002020713
31	0.000323888
32	0.000036309
33	0.000002742
34	0.000000132
35	0.000000004
36	0.000000000
37	0.000000000
38	0.000000000
Общий	1.000000000

В таблице показано, что наиболее вероятный исход — 24 различных числа, что составляет 20,49%. Среднее значение равно 24,20656478.

Некоторые шарлатаны утверждают, что игрок должен наблюдать за первыми девятью различными исходами, а затем делать на них ставки, ошибочно полагая, что они более вероятны, чем другие числа. Это совершенно неверно! Колесо и шарик не обладают памятью. На честном колесе каждое число имеет одинаковую вероятность, и прошлое не имеет значения.

Предположим, вы играете в настольную игру с тремя-пятью игроками. Возможно ли составить набор игральных костей, чтобы определить порядок ходов таким образом, чтобы каждый порядок был одинаково вероятен и не было шансов на ничью?

анонимный

Вот кубики для игры втроём: