WOO logo

Wizard рекомендует

Спросите Волшебника #400

Фермер Браун позволяет своим шести овцам пастись на огороженном участке поля, покрытом травой. Им требуется три дня, чтобы очистить поле от травы.

Затем он позволяет траве отрасти до первоначальной высоты.

Затем он выпускает на то же поле трех своих овец, и им требуется семь дней, чтобы очистить поле.

Затем он позволяет траве снова вырасти до первоначальной высоты и выпускает на поле одну овцу. Сколько времени потребуется этой овце, чтобы её очистить?

Предположим, что овцы поедают траву с постоянной скоростью, а трава растет с другой постоянной скоростью.

анонимный

63 дня

[spoiler=Решение]

Пусть i = количество дней, за которое одна овца съедает первоначальный слой травы на поле, при условии, что трава не выросла.

Пусть g — прирост травы за один день.

Нам известно, что шести овцам требуется три дня, чтобы съесть начальный урожай травы и три дня её роста. Мы можем выразить это в виде формулы:

i + 3g = 3*6

Нам также известно, что трём овцам требуется семь дней, чтобы съесть начальный слой травы и три дня её роста. Мы можем выразить это в виде формулы:

i + 7g = 7*3

У нас есть два уравнения и две неизвестные:

i + 3g = 18
i + 7g = 21

Найти значения i и g легко:

i = 63/4 = 15,75

g = 3/4 = 0,75

В задании спрашивается, сколько времени потребуется одной овце, чтобы очистить поле? Пусть x будет этим ответом. Мы можем выразить уравнение следующим образом:

i + xg = x
(63/4) + (3/4)g = x
63/4 = x/4
x = 63.

Таким образом, одной овце потребуется 63 дня, чтобы очистить поле.

[/спойлер]

Параллелепипед имеет размеры x × y × z. Он состоит из xyz отдельных кубов. Кто-то покрасил все внешние стороны. Каковы будут размеры, если количество покрашенных кубов равно количеству непокрашенных?

анонимный

Я выделил 20 различных параметров, которые работают. Вот они.

[спойлер=Ответ]
  1. 5 X 13 X 132
  2. 5 х 14 х 72
  3. 5 х 15 х 52
  4. 5 х 16 х 42
  5. 5 х 17 х 36
  6. 5 х 18 х 32
  7. 5 х 20 х 27
  8. 5 х 22 х 24
  9. 6 х 9 х 56
  10. 6 х 10 х 32
  11. 6 х 11 х 24
  12. 6 х 12 х 20
  13. 6 х 14 х 16
  14. 7 x 7 x 100
  15. 7 х 8 х 30
  16. 7 х 9 х 20
  17. 7 х 10 х 16
  18. 8 x 8 x 18
  19. 8 х 9 х 14
  20. 8 x 10 x 12
[/спойлер]

Вы неоднократно упоминали, что среднее количество испытаний, необходимых для наступления события с вероятностью p, составляет 1/p. Моя задача — доказать, что это так.

анонимный

[spoiler=Краткое решение]

Пусть x = ожидаемое количество испытаний, в которых может произойти событие.

x = 1*p + (1-p)*(1+x)

x = p + 1 + x - p - px

Вычтите x из обеих сторон:

0 = p + 1 - p - px

Отмена p и -p:

0 = 1 - px

px = 1

x = 1/p

[/спойлер]

[спойлер=Подробное решение]

Определим q = 1-p. Другими словами, это вероятность того, что событие не произошло.

Пусть x = ожидаемое количество испытаний, в которых может произойти событие.

x = 1 * pr(необходимо одно испытание) + 2 * pr(необходимо два испытания) + 3 * pr(необходимо три испытания) + ...

= 1p + 2pq + 3pq^2 + 4pq^3 + ...

x/p = 1 + 2q + 3q² + 4q³ + ...

x/p - 1 = 2q + 3q^2 + 4q^3 + ...

x/p - 1 = q * (2 + 3q + 4q^2 + 5q^3 + ...)

x/p - 1 = q * (1 + 2q + 3q^2 + 4q^3 + ... + 1 + q + q^2 + q^3 + ...)

x/p - 1 = q * (x/p + 1 + q + q^2 + q^3 + ...)

Пусть y = 1 + q + q² + q³ + ...

y-1 = q + q^2 + q^3 + ...

y-1 = q * (1 + q + q^2 + q^3 + ... )

(y-1)/q = 1 + q + q^2 + q^3 + ...

(y-1)/q = y

y/q - y = 1/q

y*(1/q - 1) = 1/q

y*(1/q - q/q) = 1/q

y*[(1-q)/q] = 1/q

y*(1-q) = 1

y = 1/(1-q)

x/p - 1 = q * (x/p + 1/(1-q))

x/p - 1 = q * (x/p + 1/p)

x/p - 1 = q * (1+x)/p

x/p - q * (1+x)/p = 1

x/p - qx/p = 1 + q/p

x*(1/p - q/p) = 1+q/p

x*(1-q)/p = 1+q/p

x*p/p = 1+q/p

x = 1 + q/p

x = 1 + (1-p)/p

x = p/p + (1-p)/p

x = 1/p

[/спойлер]