WOO logo

Wizard рекомендует

Спросите Волшебника #403

Есть резиновая лента длиной один метр. На одном конце ленты находится муравей. Муравей движется к другому концу со скоростью 1 сантиметр в секунду. С момента начала движения резиновая лента расширяется со скоростью 1 метр в секунду. Сколько времени потребуется муравью, чтобы достичь другого конца?

анонимный

Ответ: e 100 – 1 =~ 26 881 171 418 161 400 000 000 000 000 000 000 000 000 000 секунд.

Вот моё решение (PDF).

На окружности диаметром 1 сантиметр находится муравей. Начиная с момента времени t=0, муравей движется по окружности со скоростью 1/(1+t) см/сек. Сколько времени ему потребуется, чтобы совершить один оборот?

Ace2

e^pi -1 =~ 22,140693 секунды.

[spoiler=Решение]

Муравей может преодолеть расстояние, равное числу пи.

Один из способов получить общее пройденное расстояние — проинтегрировать скорость по времени. Пусть ответ будет T.

Интеграл от 0 до T от 1/(1+t) dt = π.

Интегрируя, получаем:

ln(1+T) - ln(1+0) = pi

ln(1+T) = pi

1+T = e^pi

T = e^pi - 1

[/спойлер]

В перетасованной колоде карты переворачиваются по одной, пока не появится первая дама. Какая карта с большей вероятностью окажется следующей: дама пик или король пик?

анонимный

Признаю, мой первоначальный ответ на этот вопрос был неверным.

Вероятности одинаковы.

[spoiler=Решение]

В следующей таблице показана вероятность того, что в любой заданной позиции колоды первой будет дама, за которой следует дама пик. В нижней правой ячейке показана вероятность того, что карта, следующая за первой дамой, будет дамой пик, равная 0,019231 = 1/52.

Следующая карта: Королева пик

Позиция
Первая Королева		 Вероятность
Первая Королева		 Вероятность Далее
Карта Дама Пик		 Продукт
1 0.076923 0.014706 0.001131
2 0.072398 0.001086 0.001086
3 0.068054 0.001042 0.001042
4 0.063888 0.000998 0.000998
5 0.059895 0.000956 0.000956
6 0.056072 0.000914 0.000914
7 0.052415 0.000874 0.000874
8 0.048920 0.000834 0.000834
9 0.045585 0.000795 0.000795
10 0.042405 0.000757 0.000757
11 0.039376 0.000720 0.000720
12 0.036495 0.000684 0.000684
13 0.033758 0.000649 0.000649
14 0.031161 0.000615 0.000615
15 0.028701 0.000582 0.000582
16 0.026374 0.000549 0.000549
17 0.024176 0.000518 0.000518
18 0.022104 0.000488 0.000488
19 0.020153 0.000458 0.000458
20 0.018321 0.000429 0.000429
21 0.016604 0.000402 0.000402
22 0.014997 0.000375 0.000375
23 0.013497 0.000349 0.000349
24 0.012101 0.000324 0.000324
25 0.010804 0.000300 0.000300
26 0.009604 0.000277 0.000277
27 0.008496 0,000255 0,000255
28 0.007476 0.000234 0.000234
29 0,006542 0.000213 0.000213
30 0.005688 0.000194 0.000194
31 0.004913 0,000175 0,000175
32 0.004211 0.000158 0.000158
33 0.003579 0.000141 0.000141
34 0.003014 0.000126 0.000126
35 0.002512 0.000111 0.000111
36 0.002069 0.000097 0.000097
37 0.001681 0.000084 0.000084
38 0.001345 0.000072 0.000072
39 0.001056 0.000061 0.000061
40 0.000813 0.000051 0.000051
41 0.000609 0.000042 0.000042
42 0.000443 0.000033 0.000033
43 0.000310 0.000026 0.000026
44 0.000207 0.000019 0.000019
45 0.000129 0.000014 0.000014
46 0.000074 0.000009 0.000009
47 0.000037 0.000006 0.000006
48 0.000015 0.000003 0.000003
49 0.000004 0.000001 0.000001
Общий 1.000000 0.019231 0.019231

В следующей таблице показана вероятность того, что в любой заданной позиции колоды первой будет дама, за которой следует король пик. В нижней правой ячейке показана вероятность того, что карта, следующая за первой дамой, — это король пик, равная 0,019231 = 1/52.

Следующая карта: Король пик

Позиция
Первая Королева		 Вероятность
Первая Королева		 Вероятность Далее
Карта Дама Пик		 Продукт
1 0.076923 0.019231 0.001479
2 0.072398 0.019231 0.001392
3 0.068054 0.019231 0.001309
4 0.063888 0.019231 0.001229
5 0.059895 0.019231 0.001152
6 0.056072 0.019231 0.001078
7 0.052415 0.019231 0.001008
8 0.048920 0.019231 0.000941
9 0.045585 0.019231 0.000877
10 0.042405 0.019231 0.000815
11 0.039376 0.019231 0.000757
12 0.036495 0.019231 0.000702
13 0.033758 0.019231 0.000649
14 0.031161 0.019231 0.000599
15 0.028701 0.019231 0.000552
16 0.026374 0.019231 0.000507
17 0.024176 0.019231 0.000465
18 0.022104 0.019231 0,000425
19 0.020153 0.019231 0.000388
20 0.018321 0.019231 0.000352
21 0.016604 0.019231 0.000319
22 0.014997 0.019231 0.000288
23 0.013497 0.019231 0.000260
24 0.012101 0.019231 0.000233
25 0.010804 0.019231 0.000208
26 0.009604 0.019231 0.000185
27 0.008496 0.019231 0.000163
28 0.007476 0.019231 0.000144
29 0,006542 0.019231 0.000126
30 0.005688 0.019231 0.000109
31 0.004913 0.019231 0.000094
32 0.004211 0.019231 0.000081
33 0.003579 0.019231 0.000069
34 0.003014 0.019231 0.000058
35 0.002512 0.019231 0.000048
36 0.002069 0.019231 0.000040
37 0.001681 0.019231 0.000032
38 0.001345 0.019231 0.000026
39 0.001056 0.019231 0.000020
40 0.000813 0.019231 0.000016
41 0.000609 0.019231 0.000012
42 0.000443 0.019231 0.000009
43 0.000310 0.019231 0.000006
44 0.000207 0.019231 0.000004
45 0.000129 0.019231 0.000002
46 0.000074 0.019231 0.000001
47 0.000037 0.019231 0.000001
48 0.000015 0.019231 0.000000
49 0.000004 0.019231 0.000000
Общий 1.000000 0.019231

Признаюсь, моей первоначальной реакцией было предположение, что король пик — более вероятный вариант, потому что существует 1/4 вероятность того, что первая дама окажется дамой пик, и в этом случае шанс увидеть её снова будет нулевым. Однако простая причина, по которой вероятности одинаковы, заключается в том, что когда появляется первая дама, колода уже богата дамами. Другими словами, перед появлением первой дамы удаляется множество случайных карт, которые могли быть королями, но не другими дамами.

В видеоролике "Mind Your Decisions" (см. ссылку ниже) это объясняется следующим образом.

Существует 51! способов расположить все карты, кроме дамы пик. Если поставить даму пик прямо перед первой дамой, то останется 51! вариантов расстановки. Разделив это число на 52! возможных вариантов, получим вероятность того, что дама пик последует за первой дамой: 51!/52! = 1/52.

Вы могли бы сделать то же самое, только убрать короля пик и поставить его перед первой дамой, и все равно получить 1/52.

[/спойлер]

Этот вопрос взят с YouTube-канала Mind Your Decisions .