Спросите Волшебника #406

Для тех, кто не знаком с игрой, поясним: «Crash» — популярная игра в интернет-казино, особенно в тех, которые используют криптовалюту. Суть игры в том, что игрок делает ставку, после чего самолет или ракета взлетают с земли. Каждые доли секунды высота увеличивается на небольшой процент. Игрок может катапультироваться в любой момент и выигрывает в зависимости от высоты, на которой находится объект. Однако, с каждой долей секунды объект может подниматься, а может и падать. Если объект падает до того, как игрок катапультируется, игрок проигрывает.

При этом средняя достигнутая высота, если предположить отсутствие края дома, составляет 1/ln(2) ≈ 1,442695041.

Для удобства других читателей ниже приведены карты, которые можно использовать в обеих играх.

• Техасский Холдем — игрок может составить лучшую покерную комбинацию, состоящую из двух закрытых карт и пяти общих карт. Игрок может использовать любые пять из этих семи карт.
• Омаха — Игрок должен использовать ровно две из четырех карманных карт и ровно три из пяти общих карт.

Используя формулы Excel, мы вычислили вероятность в каждой игре.

• Техасский холдем -- 4*КОМБИН(47,2)/КОМБИН(52,7) =~ 1 из 30 940
• Омаха -- 4*КОМБИН(5,2)*КОМБИН(47,2)*КОМБИН(45,2)/(КОМБИН(52,4)*КОМБИН(48,5)) =~ 1 из 10,829

Для удобства других читателей, вот правила.

1. Игроку будет задано 13 вопросов типа «верно/неверно».
2. После этого игроку будет предложено выбрать диапазон количества правильных, по его мнению, ответов. Если он окажется в этом диапазоне, он выиграет согласно таблице ниже.
3. Также предусмотрен бонус в размере 25 000 долларов, если игрок правильно угадает точное количество правильных ответов.
4. Ведущий, Шак, может в любой момент предложить цену выкупа.

Источник фото: ABC Press

В следующей таблице показана стратегия максимизации ожидаемой выгоды. Например, если игрок считает, что угадает 9,5, ему следует выбрать диапазон от 10 до 12. Хотя 9,5 не входит в этот диапазон, ожидаемая выгода будет больше, чем в диапазоне от 7 до 9, потому что выигрыш будет в 4 раза больше.

Что касается предложений о капитуляции, то каждый раз, когда я смотрел шоу, предложения были очень скудными, примерно половина от ожидаемой стоимости. Я рекомендую просто сказать «нет» Шаку.

В своем видео Мэтт подтверждает один из аспектов этого вопроса, поднятого в статье «Парадокс бинго» Артура Бенджамина, Джозефа Кизенвезера и Бена Вайсса.

Предположим, что игра упрощена, и нет свободных квадратов и диагональных выигрышей. Оба утверждения доказывают, что если шары вытягиваются до тех пор, пока (1) в каждом столбце не окажется хотя бы один шар, или (2) в одном столбце не окажется пять шаров, то вот вероятности того, что произойдет раньше.

• По крайней мере один шар в каждом столбце (возможно горизонтальное бинго) = 0,751779.
• Пять шаров, вытянутых в любой столбец (возможно вертикальное бинго) = 0,248221.

Я произвел все необходимые расчеты и согласен с этим. Однако, тот факт, что бинго возможно, не означает, что оно обязательно выпадет в обычной игре.

Прежде чем я перейду к этому, скажу, что при наличии всего одной карточки бинго вероятность того, что первое выпадение бинго будет горизонтальным или вертикальным, составляет ровно 50/50.

Однако в случае с конечным числом карт это не так, и учитываются только выигрышные карты.

Для целей моего анализа я предположил, что каждая возможная карта бинго используется ровно по одной. Это составляет в общей сложности 6 076 911 214 672 420 000 000 000 000 карт.

Если несколько карт одновременно образовывали комбинацию для бинго, каждая выигрышная комбинация засчитывалась одинаково.

Предполагая, что сначала была возможна вертикальная игра в бинго, я показываю, что вероятность выигрыша любой данной карты составляет 1 к 3003 ≈ 0,000333. Предполагая, что сначала была возможна горизонтальная игра в бинго, я показываю, что вероятность выигрыша любой данной карты составляет 1 к 8294 ≈ 0,000121.

В следующей таблице представлены как первый возможный тип бинго, так и вероятность выпадения бинго на любой заданной карточке. В правом столбце показано, что вероятность выпадения горизонтального бинго составляет 52,3% при условии, что бинго было объявлено.

Я знаю, что мои 52,3% отличаются от соотношения 2 к 1, указанного в статье, но это основано на моделировании игры с 1000 картами, и я не понимаю, как они подсчитывают несколько бинго одновременно.

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .