Спросите Волшебника #410

Существует девять стартовых позиций для бросания шайбы. Однако нас интересуют только пять, поскольку призы и расположение колышков симметричны. Давайте обозначим их, начиная с левого края, от 1 до 5.

Существует также девять конечных позиций, давайте обозначим первые пять, начиная слева, цифрами от 1 до 5.

В следующей таблице показана вероятность попадания в любую заданную точку (левый столбец) в зависимости от места, откуда был сброшен снаряд (верхняя строка).

В следующей таблице показана ожидаемая стоимость каждой позиции для выбранного вами варианта в рамках «Недели больших денег», о которой вы спрашивали. Как и ожидалось, игрок должен выбрать направление падения шайбы, превышающее самый крупный приз.

Сначала рассмотрим кривую, полученную по уравнению y=1/x для значений x от 1 до бесконечности. График будет выглядеть следующим образом для значений x до 17.

Далее представьте, что эта кривая вращается вокруг оси x. В результате получится нечто похожее на рог с бесконечно длинным концом. Это то, что математики называют рогом Габриэля?

Источник изображения: Soul of Mathematics .

Далее рассмотрим вопросы, касающиеся Рога Гавриила:

• Какой объём?
• Какова площадь поверхности?

Вот ответы:

• Объём = π = пи.
• Площадь поверхности = бесконечность

С результатами моих исследований можно ознакомиться здесь (PDF).

Суть парадокса заключается в вопросе: как может объем быть конечным, а площадь поверхности — бесконечной?

Парадокс возникает, когда мы путаем два измерения с тремя. Так делать не следует. Рассмотрим окружность А радиусом 1 и окружность В радиусом 1,1, причем окружность А находится внутри окружности В.

Окружность А имеет длину окружности 2*π ≈ 6,283185, а окружность В имеет площадь 1,1²*π ≈ 3,801327. Обратите внимание, что окружность В больше окружности А, но её площадь меньше длины окружности В. Это не означает, что длина окружности В является частью площади А. Площадь и длина окружности — это разные измерения в разных измерениях, и их не следует сравнивать.

Иными словами, если бы мы сделали пластинку из круга А с бесконечным числом канавок, то длина этих канавок была бы бесконечной.

Возвращаясь к Рогу Габриэля, давайте упростим его до дискретного случая окружностей с радиусами 1, 1/2, 1/3, 1/4...

Сумма объемов этих кругов будет равна π*(1/1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ...). Существует известный бесконечный ряд, который гласит:

1/1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ... = π²/6 ≈ 1,644934.

Добавив еще один член с числом пи, получаем сумму площадей кругов π³/6 ≈ 5,167713.

Между тем, сумма длин окружностей равна 2*пи(1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...).

В математике существует еще один хорошо известный бесконечный ряд, называемый гармоническим рядом, который гласит:

1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... = ∞ = бесконечность.

2π∞ по-прежнему равно ∞.

Если мы распространим эту логику на бесконечно малые расстояния между окружностями, то получим Рог Габриэля.

Позволять:

• w = Первоначальный вес воды.
• w' = Вес воды после высушивания бобов.
• x = Вес всего остального содержимого бобов.

Нам дано на первый день:

w + x = 100

w/(w+x) = 0,99

Подставляя первое уравнение во второе:

w/100 = 0,99

w = 99

Таким образом, x=1.

На следующий день нам предоставляется:

w'/(w'+x) = 0,98

w' = 0,98*(w'+x)

0,02w' = 0,98x

Мы знаем, что x=1, поэтому:

0,02w' = 0,98

w' = 0,98/0,02 = 49

Общий вес на следующий день составит x + w' = 1 + 49 = 50.

[/спойлер]