Спросите Волшебника #414

У другой стороны было преимущество. Вот вероятность выпадения каждой из задействованных сумм:

• 6 = 5/36
• 7 = 6/36 = 1/6
• 8 = 5/36

Среднее время ожидания события с вероятностью p составляет 1/p.

Вероятность выпадения суммы 7 составляет 1/6. Таким образом, в среднем требуется 6 бросков, чтобы получить в сумме 7. Для того, чтобы получить две такие суммы, потребуется в среднем 12 бросков.

Вероятность выпадения суммы 6 или 8 составляет (5/36) + (5/36) = 10/36. Обратите внимание, что 6 и 8 могут выпасть в любом порядке. Таким образом, вероятность выпадения 6 или 8 составляет 1/(10/36) = 36/10 = 3,6.

Если первое число находится в диапазоне от 6 до 8, вероятность выпадения второго составляет 5/36. Время ожидания второго события составляет 1/(5/36) = 36/5 = 7,2 броска.

Таким образом, ожидаемое количество бросков, при котором выпадут и 6, и 8 в любом порядке, составляет 3,6 + 7,2 = 10,8. Это меньше, чем 12, необходимое для выпадения двух семерок. Следовательно, ставка на 6 и 8 выгоднее.

Допустим, наименьшее значение броска кубика, на которое игрок готов пойти, равно r.

После достижения этой цели средний результат составит (20+r)/2.

Вероятность достижения цели при любом броске равна (21-r)/20. Таким образом, ожидаемое количество бросков для достижения цели обратное, или 20/(21-r).

При выпадении числа r ожидаемый выигрыш составляет (20+r)/2 - 20/(21-r). Вот несколько примеров ожидаемых выигрышей для правдоподобных значений r.

• 14: 15,14 долларов
• 15: 15,17 долларов
• 16: 15,00 долларов

Таким образом, ожидаемый выигрыш достигает максимума в 15,17 долларов при условии выпадения числа 15 или выше.

Этот вопрос адаптирован из головоломки № 22 в третьем томе сборника математических головоломок Преша Талвалкара. В его книге используется стогранная игральная кость.

Для удобства других читателей поясним: в теннисе игроку необходимо выиграть гейм с разницей в 2 очка. Отставание на одно очко называется «Ad Out», а преимущество на одно очко — «Ad In».

Давайте разработаем некоторую терминологию.

• а = Вероятность выигрыша в игре при выходе из игры.
• b = Вероятность победы в игре при счете 4:2.
• c = Вероятность победы в игре при счете Ad In.

Отсюда мы можем сформировать цепь Маркова следующим образом:

• а = пб
• b = pc + (1-p)a
• c = p + (1-p)b

Попробуем найти значение b, подставив первое и третье уравнения выше во второе:

b = p(p + (1-p)b) + (1-p)pb

b = ^p² + pb - ^p²b + pb - ^p²b

Простые алгебраические вычисления приводят к...

b = ^p² /(1-2p+ ^2p² )

Отсюда легко использовать первую и третью формулы для нахождения a и c.

В следующей таблице показаны вероятности на трех возможных этапах для различных значений p.