WOO logo

Wizard рекомендует

Спросите Волшебника #416

Бассейн наполнен соленой водой. Из шланга в бассейн постоянно поступает пресная вода. По мере того, как в бассейн поступает пресная вода, вода вытекает с того же конца шланга с той же скоростью. После того, как в бассейн будет налито количество воды, равное объему бассейна, какое количество соленой воды останется?

анонимный

1/e = 36.7979%

Вот моё решение (PDF).

В телеигре вам предлагают приз от 0 до 20 долларов, который определяется случайным образом в соответствии с равномерным и непрерывным распределением. После того, как приз предложен, вы можете оставить его себе или заплатить 1 доллар, чтобы получить новый приз. Вы можете делать это столько раз, сколько пожелаете.

Какова оптимальная стратегия и каков ожидаемый выигрыш при её применении?

анонимный

Вам следует принять приз, превышающий 20-2*sqrt(10) = 13,67544 долларов. Ожидаемый выигрыш по этой стратегии составляет 14,675445 долларов.

[spoiler=Решение]

Пусть x — минимальное значение, которое вы готовы принять.

Среднее значение по x равно (20+x)/2.

Вероятность того, что вы примете любое предложение, составляет (20-x)/20.

Среднее количество предложений, от которых вы откажетесь, составляет 1/((20-x)/20) = 20/(20-x).

Пусть f(x) = Средняя сумма выигрыша в финале = (20+x)/2 - 20/(20-x).

Чтобы найти максимальный выигрыш, решите уравнение относительно x, когда f'(x)=0.

f'(x) = 1/2 - 20/(20-x)^2 = 0

20/(x² - 40x + 400) = 1/2

x² - 40x + 400 = 40

x² - 40x + 360 = 0

Решите уравнение относительно x, используя формулу квадратного уравнения...

x = (40 - 4*sqrt(10))/2 = 20 - 2*sqrt(10) = 13.67544468.

Таким образом, средний выигрыш составляет (20 + 13,67544468)/2 - 20/(20-13,67544468) ≈ 14,675445.

[/спойлер]

sqrt(3-x) = 3-x 2

Решите уравнение относительно x.

анонимный

x = -1, 2, (sqrt(13)-1)/2, -(sqrt(13)+1)/2

[spoiler=Решение]

Возведите обе стороны в квадрат, чтобы получить 3-x = x⁴ - 6x² + 9

f(x) = x⁴ - 6x² + x + 6 = 0

Далее, используя теорему о рациональных корнях , найдите множитель числа x.

Возможные корни: x = +/- (1/1, 2/1, 3/1, 6/1)

Если x=-1, то f(x) = 0. Следовательно, (x+1) является множителем.

х 4 - 6х 2 + х + 6 = (х+1)(х 3 - х 2 -5х + 6)

Применив теорему о рациональных корнях, мы снова получим возможные корни x = +/- (1/1, 2/1, 3/1, 6/1).

Методом проб и ошибок установлено, что x=2 является решением. Следовательно, (x-2) является множителем.

х 3 - х 2 -5х + 6 = (х-2)(х 2 + х + 3)

Используя формулу квадратного уравнения для решения уравнения x² + x + 3 = 0, получаем x = (-1 +/- sqrt(13))/2.

Таким образом, все решения имеют вид x = -1, 2, (-1 + sqrt(13))/2, (-1 - sqrt(13))/2.

[/спойлер]