Спросите Волшебника #425

Q: <p>Ваша задача — разрезать треугольник, изображенный ниже, на две равные по площади части одним вертикальным разрезом (то есть параллельно стороне а). Где следует сделать разрез? </p><p></p><img alt="" height="354" src="/media/content_images/1610/ask-the-wizard-425-q.png" width="600" />

<div><button onclick='var btn = this; var div = btn.parentNode.childNodes[1]; if (div.style.display != "block") { div.style.display="block"; } else { div.style.display="none"; }' style='padding:2px 4px;'>Ответ</button><div class='spoiler'> Разрез следует делать от b/sqrt(2) от крайнего правого края треугольника. Обратите внимание, что высота не имеет значения. </div></div><p></p><p> Вот моё <a href="/pdf/2083/ask-the-wizard-425.pdf">решение</a> (PDF).</p><p> Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом <a href="https://wizardofvegas.com/forum/questions-and-answers/math/34502-easy-math-puzzles/104/#post964901" target="_blank">игре Wizard of Vegas</a> .</p>

Q: <p>В <a href="wizardofodds.com/ask-the-wizard/424/">рубрике «Спроси волшебника» № 424</a> кто-то спросил: «Металлическую палку разрезают в двух случайных местах. Какова ожидаемая площадь наименьшего из трех полученных кусков?» Мой вопрос: каков будет ответ на вопрос о количестве случайных разрезов?</p>

<div><button onclick='var btn = this; var div = btn.parentNode.childNodes[1]; if (div.style.display != "block") { div.style.display="block"; } else { div.style.display="none"; }' style='padding:2px 4px;'>Answer</button><div class='spoiler'>1/(c+1)^2</div></div><p></p><p> Вот <a href="/pdf/2082/ask-the-wizard-425b.pdf">моё решение</a> (PDF).</p><p> Эта проблема задается и обсуждается на моем форуме <a href="https://wizardofvegas.com/forum/questions-and-answers/math/34502-easy-math-puzzles/104/" target=_blank>Wizard of Vegas</a> .</p>

Ваша задача — разрезать треугольник, изображенный ниже, на две равные по площади части одним вертикальным разрезом (то есть параллельно стороне а). Где следует сделать разрез?

анонимный

Разрез следует делать от b/sqrt(2) от крайнего правого края треугольника. Обратите внимание, что высота не имеет значения.

Вот моё решение (PDF).

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

В рубрике «Спроси волшебника» № 424 кто-то спросил: «Металлическую палку разрезают в двух случайных местах. Какова ожидаемая площадь наименьшего из трех полученных кусков?» Мой вопрос: каков будет ответ на вопрос о количестве случайных разрезов?

анонимный

1/(c+1)^2

Вот моё решение (PDF).

Эта проблема задается и обсуждается на моем форуме Wizard of Vegas .

Сколькими способами можно разместить шесть разных шаров в трёх одинаковых коробках?

анонимный

Ответ - 122

[spoiler=Решение] Сложность этой задачи в том, что коробки одинаковые. Если бы они были разными, ответ можно было бы легко найти: 3 ⁶ = 729.

Давайте пронумеруем шарики от А до F. Для начала поместим шарик А в любую ячейку.

Для начала предположим, что вы поместили шар B в одну из двух оставшихся пустых коробок. С этого момента три коробки становятся разными, потому что в них находятся разные шары, включая одну, которая всё ещё пуста. Количество способов разместить остальные четыре шара равно 3 ⁴ = 81.

Во-вторых, предположим, вы положили шар B в ту же коробку, что и шар A, а шар C — в одну из пустых коробок. С этого момента три коробки становятся разными, потому что в них находятся разные шары, включая один пустой. Количество способов разместить остальные три шара равно ^3³ = 27.

В-третьих, предположим, вы поместили шары B и C в ту же коробку, что и шары A и D в одну из пустых коробок. С этого момента три коробки будут отличаться, потому что в них находятся разные шары, включая одну пустую. Количество способов разместить два других шара равно ^3² = 9.

В-четвертых, предположим, вы поместили шары B, C и D в ту же коробку, что и шары A и E в одну из пустых коробок. С этого момента три коробки становятся разными, потому что в них находятся разные шары, включая одну пустую. Количество способов поместить другой шар равно 3¹ =3.

В-пятых, предположим, вы положили шары от B до E в одну коробку с шаром A, а шар F — в одну из пустых коробок. Шаров больше нет, поэтому шары AE могут находиться только в одной коробке, а шар F — в другой.

И наконец, в-шестых, есть только один способ собрать все шары в одной коробке.

Таким образом, ответ: 3 ⁴ + 3 ³ + 3 ² + 3 ¹ + 2 = 122.

[/спойлер]

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

Какова средняя итоговая сумма очков дилера в блэкджеке, если предположить, что дилер не получает ни блэкджека, ни перебора?

анонимный