Спросите Волшебника #426

Мне нравится представлять ответ так: нужно найти средний промежуток между порядковыми номерами. Для этого нужно взять максимальное значение и разделить его на размер выборки. Например, если самый большой элемент в вашей выборке равен 1000, а размер выборки — 5, то средний промежуток равен 1000/5 = 200. Затем добавьте этот промежуток к максимальному значению, чтобы получить приблизительное максимальное число. В этом примере 1000 + 200 = 1200.

Обычно используется формула, дающая тот же результат: M*(k+1)/k, где M = максимальное значение, а k = количество наблюдений. В нашем примере это дает 1000*(6/5) = 1200.

Рассмотрим следующую диаграмму.

Здесь у нас два прямоугольных треугольника, один с зелёной гипотенузой, а другой с чёрной. Давайте составим два уравнения Пифагора:

• Зелёная гипотенуза: ^m² + (m+n) ^² = ^10²
• черная гипотенуза: ^5² + (m+n) ^² = (m+5) ^²

Перегруппируем первое уравнение: (m+n) ^² = ^10² - ^m²

Подставим это значение (m+n) ^² во второе уравнение:

^5² + ^10² - ^m² = (m+5) ^²

25 + 100 - ^m² = ^m² + 10m + 25

^2м² + 10м - 100 = 0

^м² + 5м - 50 = 0

Используя формулу Пифагора для вычисления m:

m = (-5 +/- sqrt(25 + 200))/2

m = 5 или -10. 5 — единственный разумный ответ.

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .

Рассмотрим один тест, который мы назовем ключевым.

Группа 1 = Количество способов, которыми другие тесты могут отличаться ровно на 2 вопроса от ключевого теста, равно combin(10,2)=45.

Я не буду подсчитывать количество способов отличаться на 3 от результатов основного теста, потому что некоторые из этих способов будут совпадать с результатами теста из группы 1 в 9 случаях из 10.

Группа 2 = Количество способов, которыми другие тесты могут отличаться от ключевого теста ровно на 4 вопроса, равно combin(10,4)=210. Любой из этих вариантов также будет отличаться от любого теста в группе 1 как минимум на 2.

Повторим эту логику...

• Группа 3 = Количество способов, которыми другие тесты могут отличаться ровно на 6 вопросов от основного теста, равно combin(10,6)=210.
• Группа 4 = Количество способов, которыми другие тесты могут отличаться ровно на 8 вопросов от основного теста, равно combin(10,8)=45.
• Группа 5 = Количество способов, которыми другие тесты могут отличаться ровно на 10 вопросов от основного теста, равно combin(10,10)=1.

Таким образом, ответ — это сумма групп с 1 по 5 плюс один балл за основной тест = 1 + 45 + 210 + 210 + 45 + 1 = 512.

Это число совпадает с 2^9. Может ли это быть совпадением? Нет!

Количество способов выбрать нечётное число предметов из большой группы равно количеству способов выбрать чётное число. Это потому, что каждый предмет в большой группе может быть либо выбран, либо не выбран. Существует 2^n комбинаций выбора или невыбора каждого элемента в группе из n предметов. Если бы вы перечислили их систематически в двоичном порядке, количество выбранных комбинаций чередовалось бы между чётными и нечётными. Общее число элементов в группе равно 2^n, что само по себе чётно, поэтому половина от 2^n будет чётной.

Таким образом, сумма групп с 1 по 5 равна количеству способов выбрать четное число вопросов, соответствующих ключевому тесту. Это будет равно количеству способов выбрать нечетное число вопросов, соответствующих ключевому тесту. Общее количество способов совпасть или не совпасть с ключевым тестом составляет 2¹⁰ = 1024. Половина из них совпадет четное число раз. Следовательно, ответ 1024/2 = 512.

Этот вопрос задаётся и обсуждается на моём форуме, посвящённом игре Wizard of Vegas .