Блэкджек - Вероятность

Это типичный вопрос, с которым можно столкнуться на вводном курсе статистики. Поскольку сумма большого числа случайных величин всегда будет стремиться к колоколообразной кривой, мы можем использовать центральную предельную теорему, чтобы получить ответ.

Из моего раздела о преимуществе казино мы видим, что стандартное отклонение в блэкджеке составляет 1,17. Вы этого не поймете, если не изучали статистику, но вероятность проигрыша в вашем примере будет равна Z-статистике 45000*0,005/(45000 ^1/2 *1,17) ≈ 0,91.

В любом базовом учебнике по статистике должна быть стандартная таблица нормального распределения, которая покажет значение Z-статистики 0,8186. Таким образом, вероятность оказаться впереди в вашем примере составляет примерно 18%.

Когда дилер останавливается на мягкой 17, он проигрывает примерно в 29,1% случаев. Когда дилер берет еще карту на мягкой 17, он проигрывает примерно в 29,6% случаев. Согласно моему приложению 4 к блэкджеку , вероятность чистого выигрыша составляет 42,42%. Однако, если мы пропускаем ничьи, вероятность составляет 46,36%. Таким образом, вероятность четырех выигрышей подряд составляет 0,4636 ^{× 4} = 4,62%.

Спасибо за ваши добрые слова. Серии, такие как выпадение дилером от 5 до 16, неизбежны, но непредсказуемы. Блэкджек — это не совсем игра независимых испытаний, как рулетка, но колода не предрасположена к сериям. Для игрока, не считающего карты, можно предположить, что шансы одинаковы в каждом новом раунде. Отбросив некоторые незначительные эффекты состава колоды, дилер, который выпадал от 5 до 16 последние пять раз подряд, с такой же вероятностью сделает это и в следующий раз, как и дилер, который несколько часов подряд проигрывал на 16.

Согласно моему приложению 4 по блэкджеку , вероятность общего выигрыша в блэкджеке составляет 42,22%, ничьей — 8,48%, а проигрыша — 49,10%. Я предполагаю, что вы хотите игнорировать ничьи для целей подсчета серии. В этом случае вероятность выигрыша при условии завершенной ставки составляет 46,36%. Вероятность выигрыша n раздач подряд равна ^0,4636n . Таким образом, вероятность выигрыша шести раздач подряд составляет 0,99%, а семи — 0,46%.

То, что вы пережили, вероятно, является результатом очень неудачных серий проигрышей. Это также может быть следствием прогрессивных ставок или ошибок в стратегии. Основная стратегия игры с фиксированными ставками предполагает приблизительно симметричное математическое ожидание в отношении резких взлетов и падений, с небольшим перевесом в сторону резких падений из-за преимущества казино и 48% вероятности проигрыша по сравнению с 43% вероятности выигрыша. Если я играю ради удовольствия, то покидаю стол, когда мне перестает быть весело.

Пусть n — количество колод. Вероятность выпадения блэкджека равна 2*(4/13)*(4n/(52*n-1)). Если n=6, то вероятность составляет 192/4043 = 4,75%.

Спасибо за добрые слова. Вы задали хороший вопрос, на который нет однозначного ответа. Это скорее вопрос степени: чем больше вы играете, тем ближе ваши результаты будут к преимуществу казино. Недавно я заменил приложение 4 к своему руководству по блэкджеку информацией о стандартном отклонении, которая может помочь. Например, эта таблица показывает, что если вы сыграете 10 000 раздач в блэкджек, вероятность того, что вы закончите игру в пределах 192 единиц от исходного значения после вычета ожидаемого убытка из-за преимущества казино, составляет 90%. Таким образом, за 10 000 раздач вы, вероятно, выиграете или проиграете менее 2% от общей суммы поставленных денег из-за случайных колебаний. Однако, если мы возьмем миллион раздач, вероятность составит 90% при 0,2% колебания из-за удачи. В целом, колебание среднего значения обратно пропорционально квадратному корню из количества сыгранных раздач. Все это предполагает фиксированные ставки, иначе расчеты становятся очень сложными.

Вероятность того, что первая карта — туз, составляет 4/52. Вероятность того, что вторая карта — десятка, составляет 16/51. Таким образом, вероятность того, что туз окажется первой картой в блэкджеке, равна (4/52)*(16/51). Умножим это на 2, потому что десятка с таким же успехом может быть первой картой, и ответ будет 2*(4/52)*(16/51) = 128/2652 = 0,0482655, или примерно 1 к 20,7.

С момента публикации этого вопроса, 23 мая 2009 года в Атлантик-Сити игрок бросал кости 154 раза. Вероятность этого события составляет 1 к 5 590 264 072. Вероятность для любого количества бросков от 1 до 200 см. в моих таблицах вероятности выпадения чисел в крэпсе . Как решить задачу самостоятельно, смотрите на моем сайте MathProblems.info , задача 204.

Ваш ожидаемый убыток составит 100 * 5 * 0,005 = 2,50 доллара. Стандартное отклонение для одной раздачи равно 1,17, что можно найти в приложении 7 к моей книге о блэкджеке . Таким образом, одно стандартное отклонение в вашем примере равно 5 * 1,17 * √(100) = 58,5 доллара. Следовательно, вероятность проигрыша 295 долларов или более из-за невезения составляет 0,00135 (Z-статистика для -3).

В двух колодах осталось 103 карты, из которых 32 — десятки. Таким образом, вероятность блэкджека составляет 32/103 = 31,07%.

Вероятность выпадения одномастного блэкджека в игре с шестью колодами составляет 2*(4/13)*(6/311) = 0,0118723.

Я попытался решить эту задачу в приложении 8 к своему учебнику по блэкджеку, но здесь я рассмотрю её более подробно. Для простоты мы будем игнорировать блэкджек дилера и предположим, что игрок всегда берёт ещё карту после двух. Количество способов расположить 3 карты в колоде из 6 карт равно combin(312,3) = 5 013 320. В колоде 24 семёрки. Количество способов расположить 3 семёрки из 24 равно combin(24,3) = 2024. Вероятность равна количеству выигрышных комбинаций, делённому на общее количество комбинаций, или 2024/5013320 = 0,0004, или примерно 1 к 2477.

Вы забываете, что существует два возможных порядка: либо туз, либо десятка могут стоять первыми. Умножьте на 2, и вы получите ответ.

Согласно книге Стэнфорда Вонга «Основы блэкджека», преимущество игрока, если первая карта — туз, составляет 50,5% (страница 124). Ваш вопрос, однако, можно переформулировать так: «Какова ценность туза, если другая карта не десятка?» Для простоты, используя бесконечную колоду, мы можем разложить число Вонга следующим образом: 0,505 = (4/13)*1,5 + (9/13)*x, где x — это то, что вы хотите узнать. Проведя простые алгебраические вычисления, мы получим x = 28,5%.

Да! Хороший вопрос, даже я этого не знал. Чем меньше колод и чем больше карт, тем больше это подтверждается. Чтобы проверить наиболее вероятный сценарий, благоприятствующий выигрышу, — 8 колод и всего 3 карты, — я пропустил все возможные ситуации через свою комбинаторную программу. В следующей таблице представлены результаты.

Два числа справа в нижнем ряду показывают, что общее ожидаемое значение для взятия карты составляет -0,540355, а для остановки игры — -0,540293. Таким образом, остановка игры — немного более выгодный вариант. Следование этому правилу позволит получить дополнительную единицу примерно каждые 1117910 раздач. Потребовалось бы около 5 лет игры в блэкджек по 40 часов в неделю, прежде чем этот совет сэкономил бы игроку одну единицу.

Согласно моему приложению 9H по блэкджеку, ожидаемая прибыль от остановки игры составляет -0,476476, а от взятия карты — -0,408624, при условии, что 16 состоит из 10 и 6. Таким образом, если я возьму карту, вы сэкономите 6,79 цента на каждый доллар ставки. Это даже не маргинальная стратегия. Нет простого объяснения, почему стоит брать карту. Эти ожидаемые значения учитывают все многочисленные варианты развития событий в раздаче. Лучшая стратегия для миллиарда раздач — это лучшая стратегия для одной раздачи. Если вы хотите отклониться от базовой стратегии, вот несколько пограничных вариантов: 12 против 3, 12 против 4, 13 против 2, 16 против 10. Отклонение от стратегии в этих раздачах обойдется вам гораздо дешевле.

(1) Это зависит от того, что произойдет, если у дилера окажется блэкджек. Если игроку гарантированно проиграет не больше первоначальной ставки, то не имеет значения, возьмет ли дилер вторую карту или нет. Если игрок рискует проиграть всю сумму ставки после удвоения или разделения, а у дилера окажется блэкджек, то это играет на руку дилеру. (2) Мне не нужно это моделировать, потому что количество игроков не имеет значения.

Это зависит от количества колод. Если количество колод равно n, то вероятность составляет 2*pr(ace)*pr(10) = 2*(1/13)*(16*n/(52*n-1)), что примерно равно 1 к 21. Вот точный ответ для различных количеств колод.

Если вероятность выпадения блэкджека равна p, то вероятность того, что за 10 раздач не выпадет ни одного блэкджека, равна 1-(1-p) ^10. Например, в игре с шестью колодами ответ будет 1- 0,952511 ¹⁰ = 0,385251.

Я буду исходить из того, что перетасовка между руками никогда не происходит. Три других игрока не имеют значения. Ответ будет 2 ³ *(16/52)*(4/51)*(15/50)*(3/49)*(14/48)*(2/47) = 0,00004401, или примерно 1 к 22722. Если бы перетасовка между руками происходила, вероятность существенно бы возросла.

Количество раздач не имеет значения. Вероятность составляет 2*(4/13)*(8/103) = 0,0478.

Это зависит от того, происходит ли перетасовка между блэкджеками. Если перетасовки нет, вероятность составит 8*(16/52)*(4/51)*(15/50)*(3/49)*(14/48)*(2/47) = 0,000044011058. Количество других игроков не имеет значения, за исключением случаев, когда они вызывают перетасовку.

Из приложения 7 к правилам блэкджека мы видим, что удаление каждой девятки из одной колоды увеличивает преимущество казино на 0,20%. Однако, если вы собираетесь жульничать, гораздо лучше будет удалить туз, что увеличит преимущество казино на 0,58%. Если вы, как дилер, добавляете карту, вам следует добавить пятерку, что увеличит преимущество казино на 0,80%. Таким образом, лучшая карта для игрока — туз, а лучшая для дилера — пятерка.

У меня нет проблем с увеличением вашей ставки, когда вам кажется, что вам повезло. Важно, чтобы вы правильно разыгрывали карты. Если вы не считаете карты, у вас есть свобода выбора, и вы можете ставить столько, сколько хотите. Как я всегда говорю, все системы ставок одинаково бесполезны, поэтому полагаться на интуицию так же выгодно, как и делать ставки на фиксированном уровне в долгосрочной перспективе. Когда я сказал, что вероятность проиграть 8 раздач подряд составляет 1 к 173, я имел в виду, что начиная со следующей раздачи вероятность проиграть 8 раздач подряд составляет 1 к 173. Шансы на 8 проигрышей подряд за сессию тем выше, чем дольше сессия. Надеюсь, это отвечает на ваш вопрос.

Вероятность того, что при такой комбинации ваши две другие карты будут любыми двумя картами по 10 очков, составляет 4*COMBIN(6,4)*COMBIN(6*16,2)*(4/6)*(3/5)*(1/2)/combin(312,6) 1 к 22 307 231. Однако существуют и другие способы получить четыре туза в одной руке, например, последняя карта может быть 8 или 9. Мне пришлось бы провести компьютерное моделирование, чтобы учесть все остальные комбинации. Тем не менее, если говорить приблизительно, я бы сказал, что 7 миллионов выглядит правдоподобно.

Мне потребовались годы, чтобы самостоятельно правильно разделить пары. Синди из Gambling Tools очень помогла. Питер Гриффин также затрагивает эту тему в главе 11 книги «Теория блэкджека». Допустим, я хочу определить ожидаемую выгоду от разделения восьмерок против дилера (2). Допускается повторное разделение до четырех рук. Вот как я это сделал.

1. Выньте из ботинка цифру 2 и две восьмерки.
2. Определите вероятность того, что игрок не получит третью восьмерку ни в одной из раздач.
3. Пройдите по всем рангам, кроме 8, вычтите эту карту из колоды, разыграйте комбинацию из этой карты и 8, определите математическое ожидание и умножьте на 2. Для каждого ранга определите вероятность выпадения карты этого ранга, при условии, что вероятность выпадения другой 8 равна нулю. Возьмите скалярное произведение вероятности и математического ожидания по каждому рангу.
4. Умножьте это скалярное произведение на вероятность из шага 2.
5. Определите вероятность того, что игрок снова разделит карты на 3 руки.
6. Уберите еще 8 из колоды.
7. Повторите шаг 3, но умножьте на 3 вместо 2.
8. Умножьте скалярное произведение из шага 7 на вероятность из шага 5.
9. Определите вероятность того, что игрок снова разделит карты на 4 руки.
10. Выньте из ботинка ещё две восьмёрки.
11. Повторите шаг 3, но умножьте на 4 вместо 2, и на этот раз считайте, что третьей картой выпадает 8, что соответствует ситуации, когда игрок вынужден прекратить повторное разделение.
12. Умножьте скалярное произведение из шага 11 на вероятность из шага 9.
13. Сложите значения из шагов 4, 8 и 12.

Самая сложная часть всего этого — шаг 3. У меня есть очень некрасивая подпрограмма, полная длинных формул, которые я определяю с помощью деревьев вероятностей. Она становится особенно сложной, когда у дилера открыта десятка или туз.

Предположим, у нас шесть колод карт, и игрок всегда берет третью карту (будь то путем взятия дополнительной карты или разделения). Количество способов вытянуть 3 семерки одной масти равно количеству мастей (4), умноженному на количество способов выбрать 3 из 6 семерок этой масти из колоды. Другими словами, 4 × комбина (6,3) = 4 × 20 = 80. Количество способов вытянуть 3 цветные семерки, включая 3 семерки одной масти, равно количеству цветов, умноженному на количество способов выбрать 3 из 12 семерок этого цвета из колоды, или 2 × комбина (12,3) = 2 × 220 = 440. Количество способов вытянуть любые 3 семерки, включая 3 цветные и одномастные семерки, равно количеству способов выбрать 3 карты из 24 семерок из колоды, или комбина (24,3) = 2024. Общее количество комбинаций для любых 3 карт из 312 равно combin(312,3)=5013320. Таким образом, вероятность выпадения 3 семерок одной масти составляет 80/5013320=0,000015957. Вероятность выпадения трех цветных, но не одной масти семерок составляет (440-80)/5013320=0,0000718. Вероятность выпадения трех семерок разных цветов составляет (2024-440)/5013320=0,00031596.

Да, я рассчитываю шансы в блэкджеке, используя комбинаторный подход, анализируя все возможные варианты выпадения карт игроком и дилером, выбирая наибольшее ожидаемое значение в каждой точке принятия решения. Это сложнее запрограммировать, чем симуляцию, но я считаю это более элегантным и интересным вызовом в рекурсивном программировании. Тем не менее, я по-прежнему уважаю своих коллег за использование симуляций. На современных компьютерах достаточно быстро обработать миллиард ставок, что очень близко к оптимальной стратегии доходности.

Не так уж много мест разрешают повторное разделение тузов, так что радуйтесь, что вы играли в таком месте. Ваше место за столом не имеет значения. Вероятность этого равна вероятности того, что первые четыре карты из колоды будут тузами, а следующие четыре — десятками, или (комбинация(24,4)/комбинация(312,4))*(комбинация(96,4)/комбинация(308,4)) = 1 к 4 034 213.

Кажется, мне задают вариацию этого вопроса как минимум раз в месяц. Давайте пока предположим, что колода перемешивается после каждой раздачи, чтобы упростить вычисления. Если вероятность события равна p, то вероятность того, что это произойдет n раз подряд, равна p ⁿ . Вероятность блэкджека в игре с одной колодой равна 4*16/комбинация(52,2) = 64/1326. Таким образом, вероятность четырех подряд равна (64/1326) ⁴ = 16777216/ 3091534492176 = 1 из 184270. Однако фактическая вероятность намного меньше, потому что с каждым блэкджеком соотношение тузов к картам, оставшимся в колоде, уменьшается. Не зная, какие карты получил дилер, я не могу сказать вам точный ответ.

Пожалуйста, спасибо за комплименты. Вероятность получить 3 джокера подряд из колоды из шести карт (плюс 3 джокера) составляет 1/комбинация(315,3) = 1 из 5 159 805. Другое решение: (3/315)*(2/314)*(1/313).

Все признанные эксперты по блэкджеку согласны с тем, что преимущество казино уменьшается с уменьшением количества колод при прочих равных условиях. Однако объяснить это сложно. Во-первых, верно, что вероятность получить одну маленькую и одну большую карту выше в игре с одной колодой, чем в игре с несколькими колодами. Например, если мы определим маленькую карту как от 2 до 6, а большую карту как любую карту с 10 очками или туз, то вероятность получить по одной карте каждого типа в игре с одной колодой составляет 2*(20/52)*(20/51) = 30,17%. Вероятность в игре с 8 колодами составляет 2*(160/416)*(160/415) = 29,66%. Хотя «жесткие» игроки могут делать комбинацию в обе стороны, у игрока есть свобода выбора — остановиться, дилер всегда должен брать дополнительную карту.

Ниже приведены вероятности:

Игрок 1 0.048265
Игрок 2 0.036735
Игрок 3 0.024823
Дилер 0.012560

Вероятность появления данного продукта составляет 1 к 1 808 986.

Спасибо за комплимент. Боюсь, я не знаю ни одного источника, включая себя самого, который бы показывал код для анализа игр. Мне потребовались годы, чтобы заставить мой движок для блэкджека работать идеально (разделение карт, когда у дилера была открыта десятка или туз, было очень сложной задачей). Более простой способ определить преимущество казино в блэкджеке — написать симуляцию случайных чисел. Когда-нибудь я хотел бы написать книгу о том, как я анализировал игры, но боюсь, что её купите только вы.

2*(4/13)*(4n/(52n-1))

Вероятность составляет (4/52)*(3/51)*(2/50)*(1/49)*(4/48) = 1 к 3 248 700.

Спасибо за комплимент.

Предположим, игра ведется с шестью колодами, дилер останавливается при мягкой 17, а игрок использует базовую стратегию. Вот округленные результаты, основанные на моделировании 100 миллионов раздач.

Если бы у вас была игра без преимущества казино, вероятность выигрыша 200 долларов при капитале в 5000 долларов, используя любую систему, составила бы 5000/(5000+200) = 96,15%. Общая формула для выигрыша w при банкролле b — b/(b+w). Таким образом, чем больше банкролл, тем выше ваши шансы. Преимущество казино снижает вероятность успеха на величину, которую трудно количественно оценить. Для игры с низким преимуществом казино, такой как блэкджек, снижение вероятности успеха будет небольшим. Для точного определения этого потребовалось бы случайное моделирование. Простите, если я не стал этим заниматься. VegasClick провел небольшое моделирование вероятности успеха с использованием системы Мартингейла .

Это неверно. Оставшаяся колода должна демонстрировать более чем определённую степень асимметрии, чтобы шансы склонились в пользу игрока. Рассмотрим гипотетическую сторону, которая выплачивает 3 к 1 за любую пару одномастных карт в игре с одной колодой. Вероятность выигрыша по верхней части колоды составляет 4* комбинация (13,2)/комбинация (52,2) = 23,53%. Однако, если вы сжигаете две карты разных мастей, вероятность выигрыша снижается до 2*(комбинация (13,2)+комбинация (12,2))/комбинация (50,2) = 23,51%. Если вы сжигаете две карты одной масти, вероятность выигрыша увеличивается до (3*комбинация (13,2)+комбинация (11,2))/комбинация (52,2) = 23,59%. Если убрать по одной карте каждого ранга, вероятность выигрыша снизится до 4*комбинация(12,2)/комбинация(48,2) = 23,40%. Все это показывает, что при равномерном распределении карт шансы на выигрыш снижаются, однако при сильно асимметричном распределении они возрастают. По мере того, как колода уменьшается, ваши шансы иногда улучшаются, а иногда ухудшаются, но в долгосрочной перспективе они усредняются и остаются на уровне 23,53% вероятности выигрыша.

Согласно типичным правилам Лас-Вегаса (6 колод, дилер берет карту, если у него 17 очков), преимущество казино при постоянной остановке составляет 15,7%. В краткосрочной перспективе это еще можно преодолеть, но в долгосрочной перспективе вы понесете большие убытки.

В Cryptologic используют 8 колод, и дилер останавливается на мягкой 17. Согласно моему приложению 2 к блэкджеку , вероятность того, что дилер проиграет, имея 6, составляет 0,422922. Таким образом, вероятность того, что он не проиграет, равна 1 - 0,422922 = 0,577078. Вероятность того, что он не проиграет 7 раз из 7, составляет (0,577078) ⁷ = 2,13%.

Ух ты! Вероятность этого равна (комбинация(24,6)/комбинация(312,6)) * (24/306) * (комбинация(18,5)/комбинация(305,5)) = 1 из 287 209 346 813 617.

Вероятность составит 52/ комбинация (260,5) = 5/9525431552 = 1 из 1 905 086 310.

При соблюдении либеральных правил игры на Лас-Вегас-Стрип (шесть колод, дилер останавливается при мягкой 17, удвоение ставки после разделения разрешено, поздняя сдача разрешена, повторное разделение тузов разрешено) ниже приведены вероятности каждого возможного исхода при удвоении ставки на первых двух картах. Это не включает удвоение ставки после разделения.

В приложении 4 к моему руководству по блэкджеку мы видим следующие вероятности для каждой начальной раздачи.

• Победа 42,43%
• Потерять 49,09%
• Ничья 8,48%

Таким образом, вероятность получить ровно 19 проигрышей подряд составляет 0,4909^19*(1-0,4909) = 1 к 1 459 921. Для сравнения, вероятность получить роял-флеш в видеопокере составляет 1 к 649 740, или в 2,25 раза выше. Известны случаи, когда заядлые игроки в видеопокер получали несколько роял-флешей подряд, поэтому, если вы много играете в блэкджек, вы, скорее всего, рано или поздно столкнетесь с такой полосой неудач.

Причина, по которой стратегия меняется в зависимости от количества карт в вашей руке, как показано в приложении 18, заключается в том, что каждая карта, покидающая колоду, изменяет вероятность появления каждой оставшейся карты. Хороший пример: базовая стратегия для одной колоды гласит, что нужно сдаться при 7,7 против 10; но при любой другой 14 следует брать еще одну карту. Причина, по которой следует сдаться, заключается в том, что половина семерок уже удалена из колоды. Вам нужна еще одна семерка, чтобы набрать 21, единственную комбинацию, которая обыграет 20 у дилера. Таким образом, нехватка семерок снижает ожидаемую выгоду от взятия еще одной карты до менее половины ставки, что делает сдачу более выгодным ходом.

В колоде из восьми карт 416 карт. Это может показаться много, но 16 против 10 — настолько рискованная комбинация, что удаление всего одной карты может сделать игру «остановиться». Правило таково: если у вас восемь или меньше колод, и ваша комбинация из 16 состоит из трех или более карт, а у дилера 10, то вам следует остановиться. В комбинации из двух карт среднее количество очков за карту составляет 8, в комбинации из трех карт — 5,33. При удалении большего количества мелких карт из колоды в комбинации из трех карт оставшаяся колода становится богаче крупными картами, что делает взятие еще одной карты более опасным и склоняет шансы в пользу игры «остановиться».

Я показываю, что это правило приносит игроку 0,026% прибыли. Несмотря на стимул брать ещё одну карту при 7,7 против дилера с 2-7, игрок всё равно должен следовать базовой стратегии и разделять карты.

В приложении 14 к блэкджеку указано, что если ваша первая карта — шестерка, то ваше ожидаемое преимущество уже составляет около -21%. Например, если он поставил 100 долларов, справедливая цена за продажу руки и ставку составит около 79 долларов. Возможно, вы сможете воспользоваться его жалобами, предложив выкупить его руку за меньшую сумму, чем справедливые 79 центов за доллар. Я бы предложил 75 центов за доллар, чтобы дать вам преимущество, не слишком им злоупотребляя.

Для удобства других читателей полный свод правил выглядит следующим образом:

• Однопалубный.
• Дилер стоит на мягкой 17-й лунке.
• Выигрыш в блэкджеке оплачивается в равных суммах.
• Игрок может удвоить любые первые две карты.
• После разделения двойное значение не появляется.
• Игрок может разделить карты на четыре руки, включая тузы.
• Разделение тузов не допускается.
• Сдаваться нельзя.
• В игре «Шестикарточный Чарли» (игрок, у которого осталось шесть непереигранных карт, автоматически выигрывает).
• После каждой раздачи карты перемешивались.
• Если в игре заканчиваются карты, все игроки, у которых не проиграны карты, автоматически выигрывают.

Преимущество казино при использовании стратегии, зависящей от общего количества карт, составляет 2,13%. Я провел симуляцию с участием 7 игроков, используя стратегию, зависящую от общего количества карт, и среднее количество использованных карт за раунд составило 21,65 со стандартным отклонением 2,72. За почти 190 миллионов сыгранных раундов максимальное количество использованных карт составило 42, что произошло 7 раз.

По моему мнению, даже при идеальной стратегии, зависящей от состава карты, игрок в реальности никогда не увидит последнюю карту. Можно значительно снизить преимущество казино, используя стратегию, зависящую от состава карты, в зависимости от того, какие карты вы видите по ходу игры. Однако, даже при преимуществе казино в 2,13%, вы никогда не приблизитесь к точке безубыточности, как бы ни старались.

Согласно моим сравнительным играм , игроки в блэкджек разыгрывают около 70 раздач в час. Вероятность блэкджека в игре с шестью колодами составляет 24*96/комбинация(312,2)=4,75%. Я предполагаю, что ничья в блэкджеке всё равно получает отметку. Таким образом, для заполнения колоды потребуется примерно 30/0,0475=632 раздачи, или 9,02 часа.

Вероятность заполнения карточного поля за 4 часа, при условии 280 раздач, составляет 1 к 30 000, играя по одной раздаче за раз. Я подозреваю, что любой игрок, достигший цели за четыре часа, играл как минимум по две раздачи за раз.

Этот вопрос был поднят и обсужден на форуме моего дочернего сайта Wizard of Vegas .

Вероятность того, что дилер получит ровно 21 очко из 9 карт по этим правилам, составляет 1 к 32 178 035. Вот вероятность для различного количества колод и в зависимости от того, берет ли дилер еще карту или останавливается при мягкой 17.

В качестве ответа я предположу, что имеется шесть колод карт.

Если дилер выплачивает 6 к 5 только за выигрышный блэкджек, то «равные шансы» обычно не допускаются. Однако я поверю вам на слово, что в Resorts World такая возможность есть.

При выигрыше 6 к 5, блэкджек против туза приносит игроку 83% от суммы ставки. Таким образом, получить 100% — это очень выгодная сделка. Такая ситуация произойдет с вероятностью 0,352%. В целом, это приносит игроку 0,00352 × (1 - 0,83) = 0,0006. Другими словами, это снижает преимущество казино на 0,06%.

Напоминаю читателям, что если выплата за блэкджек составляет 3 к 2, игрок должен отказаться. В этом случае блэкджек против туза стоит 1,037 от суммы ставки, поэтому принять только одну единицу будет плохим решением.