Вероятность - Случайные числа

Давайте попробуем переформулировать вопрос. Предположим, что в лотерее 10 миллионов комбинаций, и все игроки выбирают свои номера случайным образом (с учетом возможных дубликатов). Сколько билетов нужно продать, чтобы вероятность выигрыша хотя бы одного человека составляла 90%? Пусть p — вероятность выигрыша, а n — количество проданных билетов. Вероятность проигрыша одного человека равна 1-p. Вероятность проигрыша всех n человек равна (1-p) ⁿ . Вероятность выигрыша хотя бы одного человека равна 1 - (1-p) ⁿ . Поэтому нам нужно приравнять это значение к 0,9 и решить уравнение относительно n.

.9 = 1 - (1-p) ⁿ
.1 = (1-p) ⁿ
ln(.1) = ln((1-p) ⁿ )
ln(.1) = n*ln(1-p)
n = ln(.1)/ln(1-p)
n = ln(.1)/ln(.9999999)
n = 23 025 850.

Таким образом, для того чтобы вероятность выигрыша хотя бы одного победителя составила 90%, лотерее необходимо продать 23 025 850 билетов. Если вам интересно, то если лотерея продаст ровно десять миллионов билетов, вероятность выигрыша хотя бы одного победителя составит 63,2%, что очень точно аппроксимируется как 1-(1/e).

Одним из факторов, влияющих на ответ, является общее количество билетов, проданных другим игрокам. В случае, если джекпот достается более чем одному игроку, его придется разделить. Обозначим количество возможных комбинаций n, общее количество проданных билетов t, норму доходности по мелким призам r (в случае Большой игры r = 0,179612), а j — размер джекпота. Для того чтобы это предприятие было безубыточным, получаем j*n/(n+t) + r*n - n = 0. Это означает, что j = (1 - r)*(n+t).

При использовании Visual C++ начальное значение генератора случайных чисел, очевидно, всегда одинаково. Если я подам программе один и тот же входной сигнал, то и результат после случайной симуляции всегда будет одинаковым. Насколько я понимаю, именно этого и добивалась Microsoft, чтобы эксперименты можно было точно воспроизвести. В Visual J++ ситуация, очевидно, отличается, судя по моим играм, иначе одни и те же раздачи происходили бы в одном и том же порядке каждый раз.

P.S .: С момента написания этой статьи у меня появился более медленный, но гораздо лучший способ генерации случайных чисел. Нажмите здесь для получения дополнительной информации.

Вероятность того, что у 20 разных людей будут разные дни рождения (без учета високосного дня), составляет (364/365)*(363/365)*(362/365)*...*(346/365) = 58,8562%. Таким образом, вероятность совпадения хотя бы одного дня рождения составляет 41,1438%. Кроме того, 23 — это наименьшее количество людей, необходимое для того, чтобы вероятность совпадения превысила 50%.

Вероятность правильно ответить на 6 из 94 вопросов составляет 1 в комбинации (94,6) = 1 из 814 216 767.

Спасибо за комплимент. Любая вводная книга по теории вероятностей и статистике должна хорошо рассматривать биномиальное распределение. Вкратце, биномиальное распределение — это вероятность того, что любое заданное число событий произойдет при заданной вероятности для каждого события и заданном числе испытаний. В частности, если вероятность каждого успеха равна p, число успехов равно s, а число испытаний равно n, то вероятность s успехов равна p ^s * (1-p) ^ns * combin(n,s). Функция combin объяснена в моем глоссарии . Например, предположим, вы хотите узнать вероятность того, что за 100 вращений рулетки число красных выпадет ровно 60. Согласно биномиальному распределению, вероятность равна (18/38) ⁶⁰ * (20/38) ⁴⁰ * combin(100,60) = 0,003291.

В Excel также есть функция для работы с биномиальным распределением. Она выглядит так: =BINOMDIST(x,n,p,0), где:

x = количество положительных результатов испытаний. n = общее количество испытаний. p = вероятность успеха в каждом конкретном испытании.

Для обозначения вероятности выигрыша x используйте 0 в четвертой позиции функции. Для вероятности выигрыша x или менее используйте 1.

В приведенном выше примере с рулеткой функция будет выглядеть так: =BINOMDIST(60,100,18/38,0)

Думаю, вы имеете в виду так называемый «Закон больших чисел». Он гласит, что для случайной выборки из n случайных величин со средним значением x выборочное среднее _xn сходится к x по мере того, как размер выборки стремится к бесконечности. Мы можем рассматривать результат ставки как случайную величину. Этот закон говорит нам, что по мере того, как количество ставок становится очень большим, средний результат будет приближаться к преимуществу казино.

Мне не нравится использовать вероятности в такой форме, но обычно они используются в таком синтаксисе: «Шансы на то, что роял-флеш не выпадет, составляют 649 739 к 1». Это означает, что существует 649 739 способов, которыми вы не можете вытянуть роял-флеш, и 1 способ, которым вы можете. В ваших примерах 12 к 1 — это вероятность 1/13, или 7,69%, а 3 к 2 — 2/5, или 40,00%, поэтому 3 к 2 — это более высокий шанс на выигрыш.

Вероятность получить ровно x правильно в вашем примере равна combin(100,x)*(1/5) ^x *(4/5) ^(100-x) . Чтобы получить точный ответ, нужно вычислить это для всех значений x от 0 до 24, сложить их и вычесть из 1. Ответ равен 13,14%.

Вам следовало спросить меня об этом, когда я ещё работал актуарием в Управлении социального обеспечения. Я мог бы легко провести общенациональный опрос по записям о смертях. Я бы сказал, что ответ близок к 1 из 365. Вероятно, он немного меньше, потому что показатели младенческой смертности непропорционально высоки после рождения. Для рождений в 2000 году вероятность смерти в течение первого года жизни составляет 0,71% для мальчиков и 0,59% для девочек. Другими словами, эти младенческие смерти вряд ли произойдут в день рождения, потому что после первого дня рождения ребёнок выходит из опасного периода. Кроме того, и я не знаю наверняка, но в сериале «Шесть футов под землёй» говорилось, что бизнес у похоронных бюро оживает в январе, очевидно, потому что люди пытаются продержаться ещё один рождественский праздник, а затем отпускают его. Та же логика может применяться и к достижению дня рождения. Взять, к примеру, Джорджа Бернса: он умер через 48 дней после своего 100-летия.

Вероятность того, что ваше число совпадет ровно x раз, равна combin(1000,x)*(1/38) ^x *(37/38) ^1000-x . В следующей таблице показана вероятность всех совпадений от 0 до 6 и их общее количество.

Итак, ответ — 0,00000177564555, или 1 к 563175. Надеюсь, это не произошло в интернет-казино.

Возможно, вы задаетесь вопросом, почему я не использовал нормальное приближение, как в задаче с подбрасыванием монеты, описанной выше. Дело в том, что оно плохо работает с очень высокими и очень низкими вероятностями.

Ваш ответ был бы правильным, если бы вы убирали стаканчики после неправильного выбора. Поскольку стаканчики остаются на столе, вероятность правильного выбора составляет 1/322, или 321/322 вероятности неправильного выбора. Вероятность того, что 75 выборов будут неправильными, составляет (321/322) ⁷⁵ = 79,193%. Таким образом, вероятность правильного выбора хотя бы одного из 75 составляет 100% - 79,193% = 20,807%.

Это будет комбинация (34,18)*.19^18*(1-.19)^(34-18) = 0.000007880052468.

Вероятность варианта А, очевидно, составляет 25%. Вероятность получить ноль попаданий из пяти равна ^0,95 = 77,378%. Следовательно, вероятность получить хотя бы одно попадание из пяти равна 100% - 77,378% = 22,622%. Таким образом, у варианта А более высокая вероятность.

Не имеет значения, какие были предыдущие вращения. Вероятность выпадения красного числа 23 три раза подряд составляет (1/38) ^³ = 1 к 1 из 54 872.

Итак, есть 30 черных, 30 красных и 4 зеленых числа. Это означает, что вероятность выпадения черного числа составляет 30/64, красного — 30/64, а зеленого — 4/64. Если вероятность события равна p, то справедливые шансы равны (1-p)/p к 1. Таким образом, справедливые шансы для любого красного числа будут (34/64)/(30/64) = 34 к 30 = 17 к 15. То же самое для черного. Справедливые шансы для зеленого числа равны (60/64)/(4/64) = 60 к 4 = 15 к 1. Для конкретного числа справедливые шансы равны (63/64)/(1/64) = 63 к 1.

Я предлагаю делать ставки 1 к 1 на красное и чёрное, 14 к 1 на зелёное и 60 к 1 на любой отдельный номер. Одна из формул для расчета преимущества казино — (ta)/(t+1), где t — истинные шансы, а a — фактические шансы. В данном случае преимущество казино на ставку на красное или чёрное составляет (63-60)/(63+1) = 3/64 = 4,69%. На ставку на зелёное преимущество казино составляет (15-14)/(15+1) = 1/16 = 6,25%. На отдельные номера преимущество казино составляет (63-60)/(63+1) = 3/64 = 4,69%.

Вероятность того, что будет ровно 6 правильных ответов, равна combin(10,6)×0.2 ⁶ ×0.8 ⁴ = 0.00550502.

Вероятность того, что будет ровно 7 правильных ответов, равна комбинации (10,7)×0,2 ⁷ ×0,8 ³ = 0,00078643.

Вероятность того, что будет ровно 8 правильных ответов, равна combin(10,8)×0.2 ⁸ ×0.8 ² = 0.00007373.

Вероятность того, что будет ровно 9 правильных ответов, равна combin(10,9)×0.2 ⁹ ×0.8 ¹ = 0.00000410.

Вероятность того, что будет ровно 10 правильных ответов, составляет 0,2 × ¹⁰ = 0,00000010.

Сложив вероятности от 6 до 10 правильных ответов, получаем вероятность того, что будет дано хотя бы шесть правильных ответов, равную 0,00636938.

Если вероятность выигрыша равна 1/n, и вы играете n раз, то при n, стремящемся к бесконечности, вероятность выигрыша хотя бы один раз приближается к 1-(1/e), где e = 2,7182818..., или примерно 63,21%. Точный ответ можно выразить как 1-(999 999/1 000 000) ^{1 000 000} = 0,63212074. Моя оценка составляет 1-(1/e) = 0,63212056, что совпадает с шестью знаками после запятой.

Если предположить, что ни одно число не пропускается, вероятность очень мало зависит от количества участников, при условии, что это число достаточно велико. Чем больше участников, тем больше вероятность того, что хотя бы одно совпадение приблизится к 1-(1/e) = 63,21%.

Ожидаемое количество раз, когда любое число появится ровно n раз в 12 играх, равно комбинации (12,n)×(6/45) ⁿ ×(39/45) ^n-12 . В следующей таблице показано ожидаемое количество вхождений чисел от 0 до 12.

Итак, отвечая на ваш вопрос, вы увидите одно и то же число ровно шесть раз примерно 0,099 раза на один набор карт, или примерно один раз из 10,1. То же число, появившееся ровно семь раз, произойдет 0,0131 раза на один набор карт, или один раз из 76,6.

Вы правы. Вероятность того, что одна и та же последовательность чисел будет выбрана две ночи подряд, составляет 1 к 1000. Вопрос, на который отвечал автор, заключается в том, какова вероятность того, что последовательность 1-9-6 будет вытянута дважды подряд, что действительно составляет один к миллиону. Однако, как вы отметили, более важный вопрос — каковы шансы повторения любой последовательности. Ответ на этот вопрос — (1/10) ^³ = 1 к 1000.

Для такого простого вопроса решение оказывается довольно сложным. В моем случае вам потребуется знать этот интеграл .

Вот ответ и моё решение (PDF) .