Лотерея Powerball

Введение

Powerball — это многоштатная лотерея, известная своими очень крупными джекпотами. Она стартовала в 1988 году под названием Lotto America. В 1992 году название было изменено на Powerball. На момент написания этой статьи в Powerball можно играть в 44 штатах.

Правила

Правила были изменены 7 октября 2015 года, чтобы усложнить задачу выигрыша джекпота и, следовательно, увеличить его размер. Предыдущая вероятность выигрыша джекпота составляла 1 к 175,2 миллионам. Теперь она составляет 1 к 292,2 миллионам. Полные правила следующие:

1. Стоимость билета составляет 2 доллара. Игрок также может доплатить 1 доллар, чтобы активировать множитель Power Play, за исключением Калифорнии.
2. Игрок должен выбрать пять различных чисел от 1 до 69, а также один «Power Ball» от 1 до 26.
3. Каждую субботу и среду в 22:59 по восточному времени в лотерее будут разыгрываться пять белых шаров с номерами от 1 до 69 и один красный шар Power Ball с номерами от 1 до 26.
4. Победителем становится игрок в зависимости от того, сколько из его выборов совпадет с результатами жеребьевки шаров, представленными в таблице ниже.

   Таблица выплат

   Белый Шары Соответствовать	Власть Мяч Матчи	Победить
   5	Да	Джекпот
   5	Нет	1 000 000 долларов США
   4	Да	10 000 долларов
   3	Да	100 долларов
   4	Нет	100 долларов
   2	Да	7 долларов
   3	Нет	7 долларов
   1	Да	4 доллара
   0	Да	4 доллара

5. Если игрок активирует опцию Power Play, то все призы, кроме джекпота, будут умножены как минимум на 2. Множитель для приза в 1 000 000 долларов всегда равен 2. В противном случае возможные множители указаны ниже.

   Джекпоты менее 150 миллионов долларов

   Множитель	Масса	Вероятность
   10	1	0.023256
   5	2	0.046512
   4	3	0.069767
   3	13	0.302326
   2	24	0.558140
   Общий	43	1.000000

   Джекпоты свыше 150 миллионов долларов

   Множитель	Масса	Вероятность
   5	2	0.047619
   4	3	0.071429
   3	13	0.309524
   2	24	0.571429
   Общий	42	1.000000

6. Указанные суммы джекпота выплачиваются в виде 30-летней аннуитетной выплаты, при этом первый платеж производится немедленно в размере 1,5051435% от общей суммы выплаты. Последующие платежи будут увеличиваться на 5% в год с ежегодным начислением сложных процентов.
7. Вместо аннуитета игрок может выбрать единовременную выплату, которая составит примерно 61% от номинальной стоимости.
8. В Калифорнии действует иная система выплат, поскольку в этом штате все призы должны выплачиваться на паритетной основе.
9. Как и в любой лотерее с крупным прогрессивным джекпотом, если выигрывает более одного игрока, то джекпот делится поровну между всеми победителями.
10. Как и в любой лотерее с крупными призами, если выпадает очень часто встречающаяся комбинация чисел, например, проигрышные числа 4-8-15-16-23-42, то призы, в том числе и фиксированные, могут быть уменьшены.

Правила Калифорнии

Как указано выше, все призы в Калифорнии должны выплачиваться по принципу паримутуэль, то есть все призы должны быть прогрессивными. Штат удерживает примерно 50% от всех продаж в качестве прибыли и распределяет остальные 50% следующим образом между различными призовыми фондами. Чем меньше размер джекпота, тем выше будет его доля в прибыли.

В Калифорнии опция Power Play отсутствует.

Источник: Правила лотереи Калифорнии — см. раздел 3.7, начиная со страницы 39.

Анализ Powerball

В следующей таблице показана вероятность и ожидаемая прибыль для всех возможных исходов, при условии, что игрок не использовал опцию Power Play. Столбец «Прибыль» представляет собой произведение выигрыша, вероятности и 0,5. Деление на 2 обусловлено тем, что стоимость билета составляет 2 доллара. В нижней правой ячейке показано, что игрок может рассчитывать на возврат 13,8% своих денег в виде фиксированных призов (все выигрыши, кроме джекпота). Также показана вероятность любого выигрыша, составляющая 4,02%.

Разделение джекпота

На следующем графике показано предполагаемое количество проданных билетов (в миллионах), предполагаемое количество победителей и вероятность того, что хотя бы один победитель выиграет в зависимости от размера джекпота (в миллионах).

Оценка количества проданных билетов основана на данных с 10.07.2015 (дата, когда правила лотереи Powerball изменились, и теперь в ней используется 69 белых и 26 красных шаров) по 11.07.2022 (дата выигрыша джекпота в размере 2,04 миллиарда долларов). На основе этих данных я обнаружил, что спрос имеет экспоненциальную зависимость от размера джекпота до примерно 400 миллионов долларов. После этого я показал, что зависимость является линейной. Трудно оценить спрос на крупные джекпоты, поскольку на момент написания этой статьи (9 ноября 2022 года) было всего 62 джекпота в размере 400 миллионов долларов и более и только пять — в размере миллиарда долларов и более. Однако ниже приведена моя наилучшая оценка количества проданных билетов (в миллионах) в зависимости от размера джекпота (j) в миллионах.

Если j <= 400, количество проданных билетов равно 6,7092*exp(0,0025*j)
Если j > 400, количество проданных билетов = 0,19059*j - 58

Анализ игры в большинстве

Как указано в разделе правил выше, если джекпот составляет менее 150 миллионов долларов, в лотерейный барабан Power Play добавляется шар с множителем 10x, что приводит к среднему множителю 119/43, или 2,7674%. В следующей таблице показан дополнительный выигрыш при использовании функции Power Play для джекпотов менее 150 миллионов долларов. В столбце «Выплаты» показан дополнительный выигрыш сверх стандартного выигрыша Powerball. Помните, что множитель для приза в 1 000 000 долларов всегда равен 2x. В нижней правой ячейке показана доходность в 42,23%.

Если джекпот превышает 150 миллионов долларов, то из бункера Power Play удаляется шар с множителем 10x, в результате чего средний множитель составляет 109/42, или 2,5952%. В следующей таблице показан дополнительный выигрыш при активации функции Power Play для джекпотов свыше 150 миллионов долларов. В нижней правой ячейке показана доходность в размере 38,95%.

Двойная игра

Начиная с августа 2021 года, в некоторых штатах появилась дополнительная игра под названием «Двойная игра». По состоянию на ноябрь 2022 года, опция «Двойная игра» доступна в следующих штатах: Колорадо, Флорида, Индиана, Мэриленд, Мичиган, Миссури, Монтана, Нью-Джерси, Пенсильвания, Пуэрто-Рико, Южная Каролина, Южная Дакота, Теннесси, Вашингтон.

Ставка Double Play — это дополнительная ставка в размере 1 доллара, которую можно сделать дополнительно к билету Powerball. Через тридцать минут после каждого розыгрыша Powerball проводится розыгрыш Double Play, в котором используются те же правила Powerball: пять шаров без замены из пула из 69 белых шаров и один шар из пула из 26 красных шаров, известный как Powerball. Тот же набор чисел, выбранный для розыгрыша Powerball, будет использоваться и для розыгрыша Double Play. Если игрок приобретает и Power Play, и Double Play, множитель НЕ будет применяться к игре Double Play.

Ниже представлена таблица выплат в розыгрыше Double Play в зависимости от количества совпавших белых шаров, а также в зависимости от количества шаров Powerball.

• Совпадение 5 чисел и выигрыша Power Ball составляет 10 000 000 долларов.
• Совпадение 4 чисел + Power Ball приносит выигрыш в размере 50 000 долларов.
• Совпадение 3 чисел + Power Ball приносит 500 долларов.
• Совпадение двух чисел + Power Ball приносит 20 долларов.
• Совпадение 1 ставки + Power Ball приносит 10 долларов.
• Совпадение 0 чисел + Power Ball приносит 7 долларов
• За совпадение 5 призов выплачивается 500 000 долларов.
• За совпадение 4 карт выплачивается 500 долларов.
• За совпадение 3 карт выплачивается 20 долларов.

В следующей таблице представлен мой анализ функции Double Pay отдельно. В нижней правой ячейке показана ожидаемая доходность в 53,43%, что в большинстве случаев выше, чем доходность от Powerball отдельно.

Анализ аннуитета

Предположим, вам предлагают единовременную выплату в размере 61%, и вы можете инвестировать эту сумму таким образом, чтобы избежать налогов. В этом случае вам потребуется процентная ставка выше 2,84%, чтобы в долгосрочной перспективе получить больше денег, взяв единовременную выплату. Если же предположить ставку налога на прирост капитала в 20%, то для того, чтобы единовременная выплата оказалась выгоднее, вам потребуется процентная ставка выше 3,92%.

Позвольте мне также кое-что прояснить. Существует распространённый миф о том, что если победитель лотереи умирает до того, как получит все свои выплаты, то любые будущие выплаты вернутся в лотерею/государство. На самом деле, будущие выплаты будут обрабатываться так же, как и любые другие активы — в соответствии с завещанием победителя. Цитирую веб-сайт Powerball:

• Что произойдет, если победитель, получивший приз в виде аннуитета, умрет?
• Выигрыш в лотерею будет передан наследникам. Приз в виде лотерейной аннуитетной выплаты ничем не отличается от любого другого актива. Вы можете передать оставшиеся выплаты по аннуитету своим наследникам или кому-либо еще. В лотерее Powerball даже аннуитетная выплата может быть обналичена для наследства. Это может облегчить распределение приза наследникам. Также может потребоваться обналичивание аннуитета для уплаты федерального налога на наследство. Мы продадим часть или все ценные бумаги на конкурсной основе или просто передадим ценные бумаги наследникам. Мы не взимаем никаких комиссий. Мы часто слышим жалобы на то, что джекпот не должен возвращаться «государству» после смерти победителя. Это не так. Я думаю, что это недоразумение может возникнуть из-за того, что некоторые люди слышат, что приз «переходит в наследство», а другие — что он «переходит в государство».

Заключение

С математической точки зрения, Powerball — ужасная ставка. После учета доли лотереи, распределения джекпота, аннуитета и налогов, ожидаемая доходность никогда не превышает 40%. Я считаю решение покупать лотерейные билеты совершенно иррациональным и до сих пор не понимаю, почему люди выстраиваются в очередь, чтобы выбросить свои деньги на ветер.

С тех пор как в Калифорнии в 1984 году, где я тогда жил, легализовали лотерею, я постоянно говорю о том, какая это ужасная ставка. Сколько людей я, вероятно, спас? Насколько мне известно, ноль. Тем не менее, я считаю своим долгом попытаться. Я не буду утверждать, что ни одна лотерея не является хорошей ставкой. Однако я надеюсь, что показал здесь, что Powerball никогда не бывает хорошей ставкой.

Лотереи

• Калифорнийская лотерея
• Техасская лотерея
• Флоридская лотерея
• Простая лотерея

Игры

• Пауэрболл
• Мега Миллионы

Внутренние ссылки

• Лотерея — Общая страница.
• Купить лотерею онлайн в 2026
• Умны ли игроки в лотерею? — Как правило, в штатах США с более высокими доходами от лотерей потери на душу населения выше, чем в штатах с более низкими доходами от лотерей?
• Калькулятор продаж лотерейных билетов на джекпот — оцените объем продаж билетов и вероятность выигрыша для любого размера джекпота в лотереях Power Ball и MegaMillions.
• COVID и лотерея
• Лотерея — отстой: подробный отчет о лотерее
• Лотерея (по-прежнему) отстой!
• Предыдущие вопросы рубрики «Спроси волшебника» о лотерее

Калькуляторы

• Калькулятор Powerball — Рассчитайте шансы на выигрыш в лотерее Powerball или любой другой лотерее с пятью «белыми шарами» и одним «Power Ball».
• Калькулятор Mega Millions — Рассчитайте шансы на выигрыш в лотерее Mega Millions или любой другой лотерее с пятью «белыми шарами» и одним «мега-шаром»."
• Калькулятор Pick Six — Рассчитайте шансы в любой игре "Pick Six".
• SuperLotto Plus — лотерейная игра штата Калифорния.
• Калькулятор продаж лотерейных билетов на джекпот — оцените объем продаж билетов и вероятность выигрыша для любого размера джекпота в лотереях Power Ball и MegaMillions.

Внешние ссылки

• Неделя крупных лотерей: 29 октября 2018 года, разыграны 2 огромных джекпота.
• Powerball — Официальный сайт. Также ознакомьтесь с информацией о призах и шансах на выигрыш на их сайте.
• Википедия .
• LottoReport.com — Информация об исторических продажах билетов и размерах джекпотов.
• Выпадение 400 миллионов в лотерее Powerball — обсуждение лотереи Powerball на форуме Wizard of Vegas.

Автор: Michael Shackleford