Математика покера

Производные формулы для пятикарточного стада

Меня так часто спрашивали, как я вычисляю вероятности выпадения каждой покерной комбинации, что я создал этот раздел, чтобы объяснить расчеты. Предполагается определенный уровень математической подготовки; любой, кто знаком с математикой на уровне средней школы, сможет разобраться в этом объяснении. Приведенные здесь навыки могут быть применены к широкому спектру задач на теорию вероятностей.

Факториальная функция

Если вы уже знакомы с функцией факториала, можете пропустить этот раздел. Если же вы думаете, что 5! означает крикнуть число пять, тогда продолжайте читать.

В инструкции к вашему дивану в гостиной, вероятно, будет рекомендовано регулярно переставлять подушки. Предположим, у вашего дивана четыре подушки. Сколько комбинаций можно расположить между ними? Ответ — 4!, или 24. Очевидно, что есть 4 места для первой подушки, затем останется 3 места для второй, 2 места для третьей и только 1 для последней, или 4*3*2*1 = 24. Если бы у вас было n подушек, то было бы n*(n-1)*(n-2)* ... * 1 = n! способов их расположить. В любом научном калькуляторе должна быть кнопка факториала, обычно обозначаемая как x!, а функция fact(x) в Excel даст факториал x. Общее количество способов расположить 52 карты будет равно 52! = 8,065818 * 10 ⁶⁷ .

Лучшие онлайн-бонусы Покер 6 Посмотреть все

Комбинаторная функция

Предположим, вы хотите сформировать комитет из 4 человек из 10 сотрудников вашего офиса. Сколько существует различных комбинаций людей, из которых можно выбрать? Ответ: 10!/(4!*(10-4)!) = 210. В общем случае, если вам нужно сформировать комитет из y человек из x, то существует x!/(y!*(xy)!) комбинаций на выбор. Почему? В приведенном примере существует 10! = 3 628 800 способов расставить 10 сотрудников вашего офиса в нужном порядке. Вы можете считать первых четырех членами комитета, а остальных шестерых — счастливчиками. Однако вам не нужно устанавливать порядок людей в комитете или тех, кто в комитет не входит. Существует 4! = 24 способа расставить людей в комитете и 6! = 720 способов расставить остальных. Разделив 10! на произведение 4! и 6!, получим... Вы разделите порядок входящих и выходящих из комитета людей, и у вас останется только количество комбинаций, а именно (1*2*3*4*5*6*7*8*9*10)/((1*2*3*4)*(1*2*3*4*5*6)) = 210. Функция combin (x,y) в Excel покажет вам количество способов расположить группу из y человек в группе из x.

Теперь мы можем определить количество возможных комбинаций из пяти карт в колоде из 52 карт. Ответ: combin(52,5), или 52!/(5!*47!) = 2 598 960. Если вы делаете это вручную, потому что на вашем калькуляторе нет кнопки факториала, и у вас нет Excel, то учтите, что все множители числа 47! сокращаются, оставляя (52*51*50*49*48)/(1*2*3*4*5). Вероятность составления любой данной комбинации равна количеству способов её составления, деленному на общее количество комбинаций, равное 2 598 960. Ниже приведено количество комбинаций для каждой комбинации. Просто разделите на 2 598 960, чтобы получить вероятность.

Математика покера

В следующем разделе показано, как вычислить количество комбинаций каждой покерной руки в пятикарточном стаде.

Флеш-рояль

Существует четыре разных способа собрать роял-флеш (по одному для каждой масти).

Прямой смыв

Старшей картой в стрит-флеше может быть 5, 6, 7, 8, 9, 10, валет, дама или король. Таким образом, существует 9 возможных старших карт и 4 возможных масти, что дает 9 * 4 = 36 различных вариантов стрит-флеша.

Четыре одинаковых

Существует 13 различных возможных рангов для четырех одинаковых карт. Пятой картой может быть любая из оставшихся 48. Таким образом, существует 13 * 48 = 624 различных четырех одинаковых карт.

Аншлаг

Для тройки одинаковых карт существует 13 различных возможных рангов, а для двойки — 12. Существует 4 способа расположить три карты одного ранга (4 различных карты, которые можно исключить), и combin(4,2) = 6 способов расположить две карты одного ранга. Таким образом, существует 13 * 12 * 4 * 6 = 3744 способа составить фулл-хаус.

Румянец

Есть 4 масти на выбор, и combin(13,5) = 1287 способов расположить пять карт одной масти. Из 1287 вычитаем 10 за десять старших карт, которые могут составить стрит, в результате чего получается стрит-флеш, остается 1277. Затем умножаем на 4 для четырех мастей, в результате получаем 5108 способов составить флеш.

Прямой

Старшей картой в стрите может быть 5, 6, 7, 8, 9, 10, валет, дама, король или туз. Таким образом, существует 10 возможных старших карт.Каждая карта может быть четырех разных мастей. Количество способов расположить пять карт четырех разных мастей равно 4 ^{× 5} = 1024. Далее вычитаем 4 из 1024, чтобы получить четыре способа составить флеш, в результате чего получается стрит-флеш, остается 1020. Общее количество способов составить стрит равно 10 × 1020 = 10 200.

Тройка

Для тройки одинаковых карт существует 13 вариантов расстановки, и есть 4 способа расположить 3 карты среди этих четырех вариантов. Существует комбинаций (12,2) = 66 способов расположить две другие комбинации для двух других карт. В каждой из двух комбинаций есть четыре карты на выбор. Таким образом, количество способов расположить тройку одинаковых карт равно 13 * 4 * 66 * ^4² = 54 912.

Две пары

Существует (13:2) = 78 способов расположить две представленные ранги. В обеих рангах существует (4:2) = 6 способов расположить две карты. Осталось 44 карты для пятой карты. Таким образом, существует 78 * ^6² * 44 = 123 552 способа расположить две пары.

Одна пара

Для пары существует 13 рангов, из которых можно выбрать одну карту, и есть 6 способов расположить две карты в паре. Существует 220 способов расположить остальные три ранга одиночных карт, и в каждом ранге можно выбрать по четыре карты. Таким образом, существует 13 * 6 * 220 * ^4³ = 1 098 240 способов расположить пару.

Ничего

Сначала найдем количество способов выбрать пять разных рангов из 13, которое равно combin(13,5) = 1287. Затем вычтем 10, чтобы получить 10 разных старших карт, которые могут составить стрит, и получим 1277. Каждая карта может быть одной из 4 мастей, поэтому существует 4 ⁵ = 1024 различных способа расположить масти в каждой из 1277 комбинаций. Однако мы должны вычесть 4 из 1024, чтобы получить четыре способа составить флеш, и получим 1020. Таким образом, окончательное количество способов составить комбинацию из старших карт составляет 1277 * 1020 = 1 302 540.

Специальная старшая карта

Например, найдем вероятность выпадения руки с валетом в качестве старшей карты. В руке должно быть четыре разные карты, все меньше валета, а таких карт девять. Количество способов расположить 4 ранга из 9 равно combin(9,4) = 126. Затем мы должны вычесть 1 для комбинации 10-9-8-7, которая образует стрит, оставив 125. Из приведенного выше мы знаем, что существует 1020 способов расположить масти. Умножив 125 на 1020, получаем 127 500, что является количеством способов составить руку с валетом в качестве старшей карты. Для руки с тузом в качестве старшей карты помните, что нужно вычесть 2, а не 1 из общего количества способов расположить ранги, поскольку AKQJ-10 и 5-4-3-2-A являются допустимыми стритами.
Вот хороший сайт, где также объясняется , как рассчитывать вероятности в покере .

Туз/Король Хай

Для тех, кто интересуется карибским стад-покером, я рассчитаю вероятность выпадения туза в качестве старшей карты при наличии второй по старшинству карты — короля. Остальные три карты должны быть разными и иметь ранг от дамы до двойки. Количество способов расположить 3 из 11 рангов равно (11:3) = 165. Вычтем единицу для комбинации QJ-10, которая образует стрит, и получим 164 комбинации. Как указано выше, существует 1020 способов расположить масти и избежать флеша. Итоговое количество способов расположить туз/король равно 164*1020=167280.

Внутренние ссылки

Для получения информации о множестве других вероятностей в покере, пожалуйста, ознакомьтесь с моим разделом « Вероятности в покере» .

Автор: Michael Shackleford