Вероятность идеальной скобки

Введение

В марте мне часто задают вопрос: «Какова вероятность идеально заполнить турнирную сетку March Madness?» В СМИ часто цитируют статистику: 1 к 9 223 372 036 854 780 000. Эта оценка основана на случайном угадывании, чего никто не делает, и от неё у меня мурашки по коже. Здесь я предложу базовую стратегию, которой вы можете следовать, ничего не зная о баскетболе, и оценю вероятность успеха при её применении.

Правила

Ниже приведены правила турнира. Если вы уже знакомы с ними, можете пропустить этот раздел.

По большей части, турнир проводится по системе плей-офф с одним участником, начиная с 64 команд. Чтобы удовлетворить моих читателей-перфекционистов, на самом деле команд 68, и восемь из них сыграют по четыре игры. Победители этих четырех игр и еще 60 команд в итоге составят 64 команды, и именно с этого момента обычно начинается формирование турнирной сетки.

64 команды разделены на четыре конференции: Северную, Южную, Западную и Восточную, по 16 команд в каждой. Каждая команда в каждой конференции получит свой «посев» от 1 до 16, который призван оценить их уровень, хотя это и несовершенный метод. Далее произойдет следующее:

Четыре команды, посеянные под первым номером, сыграют с четырьмя командами, посеянными под 16-м номером
Четыре команды, посеянные под 8-м номером, сыграют с четырьмя командами, посеянными под 9-м
Четыре команды, посеянные под 5-м номером, сыграют с четырьмя командами, посеянными под 12-
Четыре команды, посеянные под номером 4, сыграют против четырех команд, посеянных под номером 13.
Четыре команды, посеянные под номером 6, сыграют с четырьмя командами, посеянными под номером 11.
Четыре команды, посеянные под третьим номером, сыграют с четырьмя командами, посеянными под четырнадцатым
Четыре команды, посеянные под вторым номером, сыграют с четырьмя командами, посеянными под пятнадцатым номером.
Четыре команды, посеянные под номером 7, сыграют против четырех команд, посеянных под номером 10.
После игр этапов с 1 по 8 из 64 команд останется 32.
Победители по правилу 1 сыграют с победителями по правилу 2.
Победители по правилу 3 сыграют с победителями по правилу 4.
Победители по правилу 5 сыграют с победителями по правилу 6.
Победители по правилу 7 сыграют с победителями по правилу 8.
После игр с 10-го по 13-й этапы из 32 оставшихся команд останется 16.
Победители по правилу 10 сыграют с победителями по правилу 11.
Победители по правилу 12 сыграют с победителями по правилу 13.
После игр 15-го и 16-го этапов из 16 оставшихся команд останется восемь.
Победители по правилу 15 сыграют с победителями по правилу 16.
После игр на 18-м этапе из восьми оставшихся команд останется 4. Таким образом, будет определен победитель в каждом из четырех дивизионов.
Победитель регионального турнира, в котором участвовала команда, занявшая первое место в общем зачете по решению комитета NCAA по баскетболу при отборе команд для турнира, сыграет с победителем регионального турнира, в котором участвовала команда, занявшая четвертое место в общем зачете; победитель этого турнира пройдет дальше.
Победители двух регионов, не упомянутых в правиле 20, играют друг с другом, и победитель проходит дальше.
Победители 20-го и 21-го этапов сыграют в турнире, победитель которого станет его обладателем.

Когда количество команд достигнет 64, в турнире будет сыграно 32+16+8+4+2+1=63 игры.

Базовая стратегия

Всегда выбирайте команду с более высоким или более низким номером посева. Например, в четырех играх, где команда с первым номером посева играет против команды с шестнадцатым номером посева, выбирайте команду с первым номером посева. Из 136 случаев, когда команда с первым номером посева играла против команды с шестнадцатым номером посева, команда с первым номером посева выиграла 135 раз. В 2018 году команда с первым номером посева проиграла команде с шестнадцатым номером посева, когда UMBC (обладающая отличной шахматной командой) обыграла Университет Вирджинии.

Когда в каждом из четырех дивизионов окажется команда с первым номером посева, выберите оставшиеся три игры случайным образом.

Соперники

В следующей таблице показано количество противостояний во всех неравных матчах, которые хотя бы раз имели место. Сюда не включены игры, в которых команды с равным посевом играли друг против друга. В правом столбце показана вероятность победы команды с более высоким рейтингом.

Неравные результаты матчей

Высшее семя	Низшее семя	Сыгранные игры	Победа команды с более высоким посевом	Вероятность
1	2	67	36	0.537313
1	3	36	22	0.611111
1	4	64	47	0.734375
1	5	48	40	0.833333
1	6	13	10	0.769231
1	7	7	6	0.857143
1	8	75	60	0.800000
1	9	71	65	0.915493
1	10	6	5	0.833333
1	11	8	4	0.500000
1	12	20	20	1.000000
1	13	4	4	1.000000
1	16	144	143	0.993056
2	3	56	34	0.607143
2	4	7	3	0.428571
2	5	5	0	0.000000
2	6	30	23	0.766667
2	7	82	57	0.695122
2	8	7	2	0.285714
2	9	1	0	0.000000
2	10	52	34	0.653846
2	11	18	15	0.833333
2	12	2	2	1.000000
2	15	144	134	0.930556
3	4	7	4	0.571429
3	5	4	2	0.500000
3	6	75	45	0.600000
3	7	15	9	0.600000
3	8	2	2	1.000000
3	9	2	2	1.000000
3	10	12	8	0.666667
3	11	49	32	0.653061
3	14	144	122	0.847222
3	15	2	2	1.000000
4	5	75	42	0.560000
4	6	4	2	0.500000
4	7	5	2	0.400000
4	8	9	4	0.444444
4	9	3	2	0.666667
4	10	2	2	1.000000
4	12	39	26	0.666667
4	13	144	113	0.784722
5	6	1	1	1.000000
5	8	3	1	0.333333
5	9	3	1	0.333333
5	10	1	1	1.000000
5	12	144	93	0.645833
5	13	19	16	0.842105
6	7	9	6	0.666667
6	8	1	0	0.000000
6	10	7	4	0.571429
6	11	144	90	0.625000
6	14	15	13	0.866667
7	8	2	1	0.500000
7	10	144	87	0.604167
7	11	3	0	0.000000
7	14	1	1	1.000000
7	15	5	3	0.600000
8	9	144	74	0.513889
8	11	1	1	1.000000
8	12	2	0	0.000000
8	13	1	1	1.000000
8	16	1	0	0.000000
9	11	1	0	0.000000
9	13	1	1	1.000000
10	11	3	1	0.333333
10	14	1	1	1.000000
10	15	5	5	1.000000
11	14	7	6	0.857143
12	13	12	9	0.750000

Анализ

Раньше я анализировал вероятность идеальной турнирной сетки, используя исторический опыт побед команд с одним посевом над командой с другим посевом. Например, вероятность победы команды с 4-м посевом над командой с 5-м посевом. На момент написания этой статьи, имея данные за 36 лет с 1985 по 2021 год, такие встречи происходили 75 раз, при этом команда с 4-м посевом выигрывала 42 из них, что составляет вероятность 56%. Это неплохой метод, но он страдает от проблемы малого размера выборки. Я думаю, что лучший способ оценить вероятность победы команды с более высоким посевом в любой конкретной игре, в зависимости от двух номеров посева, — это проанализировать все 2268 игр турнира, сыгранных за 36 лет с 1985 по 2021 год. Это позволило мне сгладить колебания в данных и получить более точную оценку. Подробнее о том, как я это делал, я рассказываю на своей странице о «Мартовском безумии» .

В следующей таблице показана вероятность победы команды с более высоким посевом в любом возможном противостоянии, необходимом для победы, если игрок выбирал команду с более высоким посевом в каждой игре. В случае, когда команда с первым посевом играет против команды с первым посевом, я предполагаю 50% вероятность победы в любой конкретной игре. Вероятность, рассчитанная «старым методом», учитывает точную вероятность, основанную на историческом опыте. «Новый метод» основан на моем способе сглаживания данных для получения более точной картины силы любой конкретной команды с определенным посевом.

Вероятность победы фаворита

Круглый	Событие	Сыгранные игры	Вероятность Старый метод	Вероятность Новый метод
1	1 бьет 16	4	0.993056	0.993049
1	2 удара 15	4	0.930556	0.933458
1	3 удара 14	4	0.847222	0.887485
1	4 удара 13	4	0.784722	0.832170
1	5 ударов 12	4	0.645833	0.768372
1	6 ударов 11	4	0.625000	0.697340
1	7 ударов 10	4	0.604167	0.620749
1	8 ударов 9	4	0.513889	0.540650
2	1 бьет 8	4	0.800000	0.792047
2	4 удара 5	4	0.560000	0.540873
2	3 удара 6	4	0.600000	0.622246
2	2 удара 7	4	0.695122	0.702952
3	1 бьет 4	4	0.734375	0.668944
3	2 удара 3	4	0.607143	0.551538
4	1 бьет 2	4	0.537313	0.578959
5	1 бьет 1	2	0.500000	0.500000
6	1 бьет 1	1	0.500000	0.500000

Прежде чем продолжить, позвольте мне использовать обозначение pr(x) = вероятность наступления события x. Например, pr(выпадение 7 на двух кубиках) = 1/6.

Помните, что в турнире четыре дивизиона, поэтому в первых четырех раундах игроку нужно будет выиграть каждый матч четыре раза.

Вероятность выиграть все 32 игры в первом раунде и пройти во второй раунд составляет: [pr(1-й номер побеждает 16-й номер)*pr(2-й номер побеждает 15-й номер)*pr(3-й номер побеждает 14-й номер)*pr(4-й номер побеждает 13-й номер)*pr(5-й номер побеждает 12-й номер)*pr(6-й номер побеждает 11-й номер)*pr(7-й номер побеждает 10-й номер)*pr(8-й номер побеждает 9-й номер)]^4.

Согласно новому методу, вероятность дожить до второго раунда составляет 1 к 4354.

Во втором раунде у игрока будет 16 игр, которые он сможет выиграть. Предполагая, что он выживет в первом раунде, вероятность выживания во втором раунде составит [pr(1-й номер побеждает 8-й номер)*pr(2-й номер побеждает 7-й номер)*pr(3-й номер побеждает 6-й номер)*pr(4-й номер побеждает 5-й номер)]^4. Эта вероятность, используя новый метод, составляет 1 к 811. Вероятность выживания в обоих раундах, первом и втором, составляет 1 к 3 531 138.

В третьем раунде у игрока будет 8 игр, которые он сможет выиграть. Предполагая, что он переживет первый и второй раунды, вероятность выживания в третьем раунде составит [pr(1-й номер побеждает 4-й номер)*pr(2-й номер побеждает 3-й номер)]^4. Эта вероятность, используя новый метод, составляет 1 к 54. Вероятность выживания до этого момента с самого начала составляет примерно 1 к 190 миллионам.

В 4-м раунде игроку предстоит выиграть 4 игры. Все они будут играми между командами с первым номером посева. Предположим, что вероятность выигрыша в каждой игре составляет 50%. Вероятность выигрыша во всех четырех играх равна (1/2)^4 = 1 к 16. Вероятность выживания до этого момента с самого начала составляет примерно 1 к 1,7 миллиарда.

В пятом раунде игроку предстоит выиграть две игры. Все они будут играми между командами с первым номером посева. Предположим, что вероятность выигрыша в каждой игре составляет 50%. Вероятность выигрыша в обеих играх равна (1/2)² = 1 к 4. Вероятность выживания до этого момента, с самого начала, составляет примерно 1 к 6,8 миллиардам.

Игроку предстоит выиграть ещё одну игру — финальный матч чемпионата. Если он дойдёт до этого этапа, то снова встретится команда с первым номером посева. Давайте снова предположим 50%-ный шанс на победу. В этом случае вероятность прохождения финального матча, при идеальной турнирной сетке, составит примерно 1 к 13,6 миллиардам.

Кстати, при использовании старого метода вероятность получения идеальной скобки составляет 1 к 56,7 миллиардам.

Премия Уоррена Баффета

Уоррен Баффет предложил 1 000 000 долларов в год пожизненно любому своему сотруднику, который сможет идеально заполнить налоговую декларацию. У Уоррена около 377 000 сотрудников ( источник ). Предполагая, что каждый из них следовал описанной выше стратегии и прожил еще 60 лет, ожидаемая выгода на одного сотрудника составляет 0,4 цента, а ожидаемые затраты для г-на Баффета на всех его сотрудников составляют 1667 долларов.

Если вы не хотите рисковать, делясь славой идеальной турнирной сетки с кем-то еще, следуя моей стратегии, я бы посоветовал выбрать одного или двух игроков с 9-м номером посева, чтобы они победили игрока с 8-м номером посева. Вероятность того, что игрок с 9-м номером посева победит игрока с 8-м номером посева, составляет 47,8%, так что это небольшая жертва, чтобы увеличить ваши шансы на то, чтобы слава идеальной турнирной сетки досталась только вам.