WOO logo

Wizard рекомендует

Тождество Эйлера

На этой неделе нас ждёт непростая задача — доказать тождество Эйлера. Если вы забыли, это, пожалуй, самое красивое тождество в математике: e πi + 1 = 0. Я так люблю это тождество, что оно написано у меня на визитке, и я, возможно, даже сделаю себе татуировку с ним. Однако, прежде чем мы перейдём к этому, я представлю вам обычную еженедельную логическую головоломку.

Логическая головоломка

У вас есть четыре цепочки, каждая из которых состоит из трех звеньев. Как можно соединить их все вместе, чтобы получилась кольцевая петля из всех 12 звеньев, разрезав только три звена?

Доказательство тождества Эйлера

Одно из самых известных уравнений в математике — это тождество Эйлера, которое гласит: e πi + 1 = 0. Удивительно, что оно объединяет пять важнейших чисел в математике: 0, 1, e, π и i.

Моё решение требует знания формулы разложения в ряд Тейлора . Напомним, что она выглядит следующим образом:

формула

Где f (n) (0) = n-я производная f(x), вычисленная в точке 0.

Лично я считаю это уравнение одним из самых удивительных и прекрасных во всей математике. Для меня это доказательство того, что в математике есть что-то божественное.

При этом нам понадобятся три разложения Тейлора для распространенных функций:

расширения
6; font-family: 'Open Sans', sans-serif; color: #313131 !important; "> расширения

Давайте воспользуемся разложением Тейлора функции e x , чтобы найти e πi .

расширения

Приведенное выше уравнение можно выразить как функции от sin(x) и cos(x):

= cos(π)+i ×sin⁡(π)

= -1 + i ×0

= -1

Итак, мы имеем e πi = -1. Это можно переформулировать в обычный формат:

e πi +1 = 0

Решение логической головоломки

  1. Возьмите одну из четырех цепочек, разомкните и разделите все три звена. Назовите остальные три цепочки 1, 2 и 3.
  2. Используйте одно звено, чтобы соединить цепочки 1 и 2, создав цепь из семи звеньев.
  3. Используйте еще одно звено, чтобы соединить семизвенную цепочку из шага 2 с цепочкой из шага 3, создав таким образом цепочку из 11 звеньев.
  4. Используйте последнее звено, чтобы соединить два конца цепочки из 11 звеньев из шага 3 и создать круг из 12 звеньев.