Последовательность Фибоначчи, часть 2

На этой неделе выходит вторая часть серии из трех статей о последовательности Фибоначчи. Однако, прежде чем мы перейдем к ней, я представлю вам обычную еженедельную логическую головоломку.

Логическая головоломка

Вы находитесь рядом с двумя богами, один из которых всегда говорит правду, а другой всегда лжет. Однако оба они говорят на иностранном языке, в котором слова «да» и «нет» — это, в произвольном порядке, «джа» и «да». Вы можете задать одному из них один вопрос с ответом «да/нет», на который должен быть четкий ответ (никаких парадоксов). Ваша задача — определить, какой бог кто. Что вы должны спросить?

Последовательность Фибоначчи, часть 2

На этой неделе мы продолжаем изучение последовательности Фибоначчи. Прежде чем продолжить, позвольте мне дать определение:

F _n = n- ^е число в последовательности Фибоначчи.

Как объяснялось в информационном бюллетене на прошлой неделе:

F ₁ = 1

F ₂ = 2

F _n = F _n-1 + F _n-2 , при n>2

Таким образом, первые десять чисел в последовательности Фибоначчи — это 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55.

Вопрос, который я задаю, заключается в следующем: при n, стремящемся к ∞, чему равно Fn Fn-1 ?

Давайте используем символ Φ для обозначения этого отношения Fn Fn-1 при n, стремящемся к ∞.

Fn-2 Fn-1 отношение члена последовательности Фибоначчи к члену, следующему за ним.По мере приближения n к бесконечности это будет то же самое, что Fn-1 Fn = Φ

Итак, у нас есть:

Поскольку последовательность Фибоначчи является возрастающей, единственное разумное решение — 1 + √5² = ~ 1,61803398874989

Это явление известно как золотое сечение и встречается в математике повсюду.

Один из примеров: если прямоугольник имеет стороны a и b такие, что a/b = (a+b)/b, то a/b = Φ.

Ещё одно место, где можно увидеть золотое сечение, — это пентаграмма. На изображении выше соотношение красного и зелёного, зелёного и синего цветов, а также синего и розового цветов равно золотому сечению.

На следующей неделе я продолжу этот урок и покажу формулу для любого заданного члена последовательности Фибоначчи.

Ответ на логическую головоломку

Слово «ja» означает «да»? Если вы получили ответ «ja», значит, вы спросили правдивого человека. В противном случае, получив ответ «da», вы спросили лжеца.

Выше приведён мой краткий и простой ответ. Вероятно, существуют и другие возможные ответы.

Решение логической головоломки

Давайте рассмотрим четыре возможных комбинации, скрестив ваш вопрос и слово, означающее «да».

Спрашивающий = правдивый человек, Да = ja: Поскольку ja означает «да», он ответит правдиво и утвердительно, используя «ja».

Спрашивающий = правдивый человек, Да = да: Поскольку «джа» означает «нет», он ответит правдиво и отрицательно, используя «джа»."

Спрашивает лжец, Да = ja: Поскольку ja означает «да», правильный ответ — «да» или «ja». Однако вы спрашиваете лжеца, поэтому он перевернет ответ и скажет «da».

Спрашивает лжец, Да = да: Поскольку ja означает нет, правильный ответ — «нет» или «ja». Однако вы спрашиваете лжеца, поэтому он перевернет ответ и скажет «да».

Обратите внимание, что если вы спросите правдивого человека, вы получите ответ «да», независимо от того, используется ли слово «да». Точно так же, если вы спросите лживого человека, вы получите ответ «да», независимо от того, используется ли слово «да».