Последовательность Фибоначчи, часть 3

На этой неделе мы начинаем серию из трех статей о последовательности Фибоначчи, которая встречается повсюду как в математике, так и в природе. Однако, прежде чем мы перейдем к этому, я представлю вам обычную еженедельную логическую головоломку.

Логическая головоломка

На изображении ниже нарисуйте четыре линии, не отрывая ручки от бумаги, которые проходят через все девять точек.

Последовательность Фибоначчи, часть 3

На этой неделе мы продолжаем изучение последовательности Фибоначчи. Прежде чем продолжить, позвольте мне дать определение:

F _n = n- ^е число в последовательности Фибоначчи.

На этой неделе я покажу формулу, позволяющую напрямую получить любой член последовательности Фибоначчи без необходимости определять какие-либо предыдущие члены.

В прошлонедельном информационном бюллетене я показал, как отношение числа Фибоначчи к предыдущему числу в ряду приближается к Φ при стремлении n к бесконечности. Φ является одним из двух решений уравнения ниже и известно как золотое сечение.

Φ ² – Φ – 1 = 0

Для перестановки:

(1) Φ ² = Φ + 1

Далее умножим обе стороны уравнения (1) на Φ:

Φ ³ = Φ ² + Φ

6;font-family: 'Open Sans',sans-serif;color: #313131!important; margin-top: 20px;">= Φ + 1 + Φ (подставляя значение Φ ² в уравнение (1) выше)

= 2 Φ + 1

Далее умножим обе стороны уравнения (1) на Φ ² :

Φ ⁴ = Φ ³ + Φ ²

= (2 Φ + 1) + (Φ + 1) (подставляем значения для Φ ³ + Φ ² выше)

=3 Φ + 2

Далее умножим обе стороны уравнения (1) на Φ ³ :

Φ ⁵ = Φ ⁴ + Φ ³

= (3 Φ + 2) + (2Φ + 1) (подставляем значения для Φ ³ + Φ ² выше)

=5 Φ + 3

Далее умножим обе стороны уравнения (1) на Φ ⁴ :

Φ ⁶ = Φ ⁵ + Φ ⁴

= (5 Φ + 3) + (3Φ + 2) (подставляем значения для Φ ³ + Φ ² выше)

=8 Φ + 5

Далее умножим обе стороны уравнения (1) на Φ ⁵ :

Φ ⁷ = Φ ⁶ + Φ ⁵

= (8 Φ + 5) + (5Φ + 3) (подставляем значения для Φ ³ + Φ ² выше)

=13 Φ + 8

Вы замечаете закономерность?

(2) Φ ⁿ = F _n Φ + F _n-1

Напомним, что у уравнения ^Φ² – Φ – 1 = 0 есть два решения. Используя квадратное уравнение, обозначим эти два решения как x и y.

6;font-family: 'Open Sans',sans-serif;color: #313131!important; margin-top: 20px;"> x = 1 + √5 2

y = 1 - √5 2

Подставим эти решения в уравнение (2):

(3) x ⁿ = F _n x + F _n-1

(4) y ⁿ = F _n y + F _n-1-

Вычитаем уравнение (4) из уравнения (3):

x ⁿ – y ⁿ = F _n x - F _n y

x ⁿ – y ⁿ = F _n (xy)

F _n = (x ⁿ – y ⁿ ) / (xy)

Вернемся к x и y, как они определены выше.

Я понимаю, что вычислить число Фибоначчи таким способом было бы очень сложно. Тем не менее, меня всё ещё поражает, что для любого числа Фибоначчи существует чистая форма.

Хочу выразить благодарность YouTube-каналу blackpenredpen за метод, показанный в этом информационном бюллетене. Его можно найти в видео «Формула n-го члена последовательности Фибоначчи из квадратного уравнения».

Ответ на логическую головоломку