Парадокс дружбы (часть 2)

На прошлой неделе я представил парадокс дружбы и количественно оценил его, используя данные случайной симуляции, подтверждающие его истинность.

Напомним, что парадокс дружбы гласит: в среднем у нас друзей столько же или даже больше, чем у нас. Это правда! В этом нет ничего парадоксального, поскольку это можно доказать математически. Однако я согласен, что это, кажется, противоречит здравому смыслу.

Только в том случае, если у всех одинаковое количество друзей, среднее количество друзей на человека будет равно среднему количеству друзей его друзей. В противном случае, как бы мы это ни измеряли, будет казаться, что у наших друзей больше друзей, чем у нас.

Рассмотрим простой пример с тремя людьми.

Элис дружит с Чарли.
Боб дружит с Чарли.
Чарли дружит с Элис и Бобом.

В следующей таблице показано количество друзей на человека, а также среднее количество друзей у его друзей. Например, у Алисы один друг (Чарли). У Боба тоже один друг (Чарли). У Чарли два друга (Алиса и Боб). В нижней строке показано, что среднее количество друзей, равное 1,33, меньше среднего количества друзей у его друзей, равного 1,67.

Человек	Друзья	Среднестатистические друзья друзей
Алиса	1	2
Боб	1	2
Чарли	2	1
Средний	1.33	1.67

В среднем у каждого пользователя Facebook 249 друзей. При этом среднее количество друзей у его друзей составляет 359 (источник: Зак Стар).

Хотя я по-прежнему придерживаюсь общего утверждения, что наши друзья в среднем популярнее нас, возможно, цифра 1,67 в правом нижнем углу таблицы — это не то, на что нам следует обращать внимание. С точки зрения статистики, брать среднее значение средних значений не совсем корректно.

Что если мы посчитаем, сколько друзей у каждого друга, и возьмем среднее значение? В этом случае Алиса скажет, что у ее друга Чарли 2 друга, что даст Чарли 2 балла. Боб скажет то же самое, что даст Чарли еще два балла. Чарли скажет, что у Алисы 1 друг, а у Боба 1 друг. Сложив баллы, получим: у Чарли 4 друга, у Алисы 1, а у Боба 1. В сумме это 6 баллов. Таким образом, у двух дружеских отношений всего 4 друга. Среднее количество баллов на одного друга составляет 6/4 = 1,5. Это все еще больше, чем среднее количество друзей на человека, равное 1,33.

Почему это так в целом? Одно из объяснений заключается в том, что большинство людей с большей вероятностью получат предложение о дружбе от харизматичных личностей, чем от социально неловких. Для большинства людей вполне ожидаемо, что они знают много общительных людей и не так много одиночек.

Иными словами, меньшинство харизматичных людей искусственно завышает среднее количество друзей у наших друзей. Вероятно, мы дружим с этими людьми, и это увеличивает среднее количество друзей у наших друзей, заставляя нас чувствовать себя социально неловкими и отчужденными.

Существует множество математических работ по этой теме, но, на мой взгляд, всё сводится к простому объяснению, приведённому выше.