Первый бросок кубика

В настольных играх обычно бросают кубики, чтобы определить, кто ходит первым. Например, можно предложить, чтобы первым ходил тот, у кого выпало большее число, а затем ходы шли по часовой стрелке вокруг стола. Однако с этим связаны две проблемы. Во-первых, может возникнуть ничья, и в этом случае время будет потрачено впустую на повторное бросание кубиков. Во-вторых, остальные позиции не выбираются случайным образом.

Моя цель заключалась в создании набора игральных костей, которые случайным образом определяли бы порядок действий от 2 до 4 и более игроков, при этом каждый порядок был бы одинаково вероятен. Я предпочитал использовать пять платоновых тел, но был готов к изменениям. Ничьи были строго запрещены. Только один бросок!

Вдвоем это довольно просто. Если бы бил кулаком игрок с наименьшим числом и разрешалось использовать монеты, то можно было бы легко обозначить монеты следующим образом:

Монета 1: 1,4

Монета 2: 2,3

Всё сводится к выпавшей единице, независимо от того, окажется ли она больше или меньше двух последовательных чисел на монете 2. Расширяя это правило на платоновы тела, мы можем просто продублировать грани. Например, с кубами мы могли бы получить:

Кубик 1: 1,1,1,3,3,3

Кубик 2: 2,2,2,2,2,2

Если нам обязательно нужны разные числа, что мне нравится, мы могли бы сделать так:

6; font-family: 'Open Sans', sans-serif; color: #313131 !important; ">Куб 1: 1,2,3,10,11,12

Кубик 2: 4,5,6,7,8,9

Игра втроём становится сложной. Признаюсь, я пытался использовать комбинацию алгебры и метода проб и ошибок в Excel, но потерпел неудачу. Поэтому я прибегнул к небольшому жульничеству и написал симулятор, который случайным образом нумеровал грани трёх игральных костей от 1 до 18, пока не было найдено решение. Программа нашла его за несколько минут, и вот как это выглядит:

Кубик 1: 3,4,9,10,13,18

Кубик 2: 2,5,7,12,15,16

Кубик 3: 1,6,8,11,14,17

Существует 6³ = 216 способов бросить три игральные кости. Для трех игроков существует шесть возможных порядков броска. Можете поверить мне, что из 216 возможных исходов каждый порядок броска встречался 216/6 = 36 раз.

Поскольку я уже написал симулятор для этой задачи, я расширил его возможности до случая с четырьмя игроками. Он работал много часов, перебирая триллионы комбинаций, но ничего не сработало. Поэтому я вернулся к математическому решению проблемы. Идея заключалась в том, чтобы расширить решение с тремя кубиками следующим образом:

Куб 1	4	5	10	15	18	23
Куб 2	3	6	8	17	20	21
Куб 3	2	7	9	16	19	22
Куб 4	1	11	12	13	14	24

Я рассуждал так: у игрока с кубиком 4 должен быть шанс ¼ сделать первый или последний ход. Давайте рассмотрим вероятность первого хода. Если бы он выбросил 1, он бы ходил первым независимо от результатов остальных трех кубиков, так как 1 — наименьшее число. Эта вероятность, очевидно, составляет 1/6. Если бы кубик 4 выдал от 11 до 14, то остальным трем игрокам нужно было бы выбросить 15 или больше, чтобы кубик 4 оказался наименьшим. У каждого из них было по 3 числа больше 14. Таким образом, вероятность того, что кубик 4 окажется наименьшим, составляет (1/4) + (4/6)*(3/6)^3 = 1/6. Это привело меня к выводу, что у каждого игрока есть шанс ¼ сделать первый ход.

Однако, если кубик 4 оказался самым маленьким, то вероятность выпадения остальных трех кубиков не была одинаковой. Например, если значения кубиков с 1 по 3 равны 15 или больше, то вероятность того, что кубик 1 окажется самым маленьким, должна составлять 1/3, но на самом деле она равна: вероятность(кубик 1 = 15) + вероятность(кубик 1 = 18) * вероятность(кубик 2 = 20 или 21) * вероятность(кубик 3 = 19 или 22) = 1/3 + (1/3) * (2/3) * (2/3) = 13/27.

Итак, у меня возникла идея превратить кубики с 1 по 3 в додекаэдры (двенадцатигранные игральные кости), продублировав исходные шесть граней на остальных шести, но добавив 24, следующим образом:

Куб 1	5	6	11	12	15	20	31	32	37	38	41	46
Куб 2	4	7	9	14	17	18	30	33	35	40	43	44
Куб 3	3	8	10	13	16	19	29	34	36	39	42	45

Для кубика 4 я поместил два наименьших и два наибольших числа: 1, 2, 47 и 48. Затем восемь чисел в промежутке между 20 и 29. Это сохранит вероятность того, что кубик 4 окажется первым или последним, равной (2/12) + (8/12)*(6/12)^3 = ¼ . Если кубик 4 выбросит от 10 до 39, он вернется к решению с тремя кубиками, которое, как было доказано, работает. Таким образом, решение с четырьмя кубиками выглядит так:

Кубик 1	5	6	11	12	15	20	31	32	37	38	41	46
Кубик 2	4	7	9	14	17	18	30	33	35	40	43	44
Кубик 3	3	8	10	13	16	19	29	34	36	39	42	45
Кубик 4	1	2	21	22	23	24	25	26	27	28	47	48

Вам придётся поверить мне на слово: из 12^4 = 1296 возможных способов бросить четыре игральные кости и 4! = 24 возможных порядков, каждый порядок имеет 1296/24 = 54 комбинации.

Я не смог остановиться на этом и перешёл к случаю с пятью игроками. Используя ту же логику, что и для случая с четырьмя игроками, я смог добиться лишь 840-гранных кубиков. Вместо того чтобы добавлять к этому информационному бюллетеню около пяти страниц длинной строкой чисел, я опубликовал точные грани кубиков на своём форуме Wizard of Vegas в теме «Go First Dice» . Существует 3 485 099 520 000 способов бросить пять 840-гранных кубиков, поэтому я проверил результаты с помощью случайного моделирования и убедился, что кубики показали то, что должны были показать.

Видео, которое положило начало этому увлечению, — это «Go First Dice» на канале Numberphile (один из моих любимых каналов!). Должен признать, что Джеймс Грайм подходит к вопросу о четырех кубиках так же, как и я. Однако я надеюсь, что внесу свой вклад в обсуждение.

Все изображения, представленные в этом информационном бюллетене, были созданы с помощью программы Copilot .