Математическая задача "Дрянные девчонки"

Возможно, вы помните, что в прошлонедельном информационном бюллетене я представил вторую математическую задачу из фильма «Умница Уилл Хантинг». Возможно, вы помните, что в фильме утверждалось, что математическому факультету Массачусетского технологического института потребовалось два года, чтобы её решить. Как я показал на прошлой неделе, задача оказалась не только довольно простой, но и гениальный математический персонаж, которого играет Мэтт Дэймон, дал лишь 80% ответа.

На этой неделе мы рассмотрим ещё один фильм, в котором математическая задача является важным сюжетным элементом. Это фильм «Дрянные девчонки». В школьном математическом конкурсе всё сводится к тому, чтобы героиня Кэди, которую играет Линдси Лохан, ответила на следующий вопрос:

Вы можете увидеть обсуждаемую сцену в следующем видеоролике на YouTube. Вопрос задается на отметке 4:53.

Если бы нам разрешили использовать электронную таблицу, мы бы легко увидели, что по мере приближения x к 0 с отрицательной стороны, f(x) стремится к бесконечности. По мере приближения x к 0 с положительной стороны, f(x) стремится к отрицательной бесконечности. Таким образом, с помощью компьютера мы можем увидеть, что, поскольку функция стремится как к отрицательной, так и к положительной бесконечности, она не стремится ни к чему конкретному. Следовательно, предела не существует.

Однако им не разрешалось пользоваться компьютерами в фильме. Чтобы помочь решить эту проблему, позвольте мне напомнить вам правило Лопиталя.

По сути, это означает, что если предел f(x)/g(x) = 0/0, то lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x). Пожалуйста, ознакомьтесь с условиями по ссылке выше, которые я не буду перечислять.

Пожалуйста, не пишите мне и не говорите, что я забыл поставить циркумфлекс над буквой «о» в слове L'Hospital. Думаю, оба варианта написания приемлемы. Я до сих пор не уверен, как это произносится, и рад, что мне не нужно этого делать для этой рассылки.

Позвольте мне сначала опубликовать еще одну задачу, где уместно использовать правило Лопиталя. Она взята со страницы Википедии, на которую я ссылался ранее.

И числитель, и знаменатель стремятся к 0 по мере приближения x к 0. С 0/0 мы ничего не можем сделать. Согласно правилу Лопиталя, мы можем найти производную как от числителя, так и от знаменателя и взять предел этой дроби при приближении x к нулю. Давайте сделаем это.

Вот и пришла на помощь больница L'Hospital.

А теперь вернёмся к пределу, установленному в фильме «Дрянные девчонки».

Давайте воспользуемся правилом произведения для дифференцирования g(x): Напомним, что оно гласит: (r(x) * s(x))' = r(x)*s'(x) + r'(x)*s(x).

Итак, L'Hospital не помог решить проблему с «Дрянными девчонками». Поскольку мы всё равно получили бессмысленный результат 0/0, можно с уверенностью сказать, что «предела нет». В этой сцене Кэди была права, и её команда заслуженно выиграла соревнование.

jpg" />

Хочу отдать должное Тине Фей, главному сценаристу фильма, за то, что она правильно рассчитала математические выкладки! Этого нельзя воспринимать как должное. Как мы видели в «Умнице Уилле Хантинге», даже в самых отполированных и высокобюджетных фильмах могут встречаться математические и научные ошибки, от которых у меня мурашки по коже.